Biến cố hợp, biến cố giao và quy tắc cộng
Trong chương trình Toán lớp 11 — bộ sách Kết nối tri thức, với hai biến cố A và B của cùng một phép thử, biến cố hợp A∪B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra, còn biến cố giao A∩B xảy ra khi cả hai cùng xảy ra. Quy tắc cộng xác suất phát biểu: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Trò chơi phía trên biến công thức này thành một phép đếm chấm tròn mà bạn điều khiển được.
Ý tưởng trực quan: phần giao bị đếm hai lần
Không gian mẫu Ω trong game có 36 điểm — như 36 kết quả đồng khả năng khi gieo hai con xúc xắc. Mỗi chấm nằm trong vòng tròn A, vòng tròn B, phần giao ở giữa, hoặc đứng ngoài cả hai:
- Bấm "Đếm từng phần": máy đếm hết các chấm trong A (màu xanh dương), rồi đếm hết các chấm trong B (màu xanh lá).
- Hãy nhìn kỹ phần giữa: mỗi chấm trong A∩B được đếm đúng hai lần — một lần theo A, một lần theo B (chấm hiện vòng đôi).
- Nhưng hợp A∪B chỉ cần mỗi kết quả một lần, vì vậy phải trừ đi một lượt đếm của phần giao.
- Kết quả: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B), chia cho 36 là ra công thức xác suất.
Vì sao công thức đúng — và khi nào được bỏ dấu trừ?
Mỗi kết quả của phép thử rơi vào đúng một trong bốn vùng: chỉ A, chỉ B, cả hai, hoặc ngoài cả hai. Tổng n(A) + n(B) = (chỉ A + cả hai) + (chỉ B + cả hai) đã tính vùng "cả hai" hai lần, trong khi n(A∪B) = chỉ A + chỉ B + cả hai. Hiệu của hai vế đúng bằng một lần n(A∩B) — đó là toàn bộ nội dung của dấu trừ.
Khi A và B xung khắc (không thể cùng xảy ra, ví dụ "tổng bằng 5" và "tổng bằng 10" khi gieo hai xúc xắc), phần giao rỗng: P(A∩B) = 0 và công thức rút gọn thành P(A∪B) = P(A) + P(B). Trong game, đó là lúc bạn kéo n(A∩B) về 0 và hai vòng tròn tách hẳn nhau.
Ngược lại, nếu quên dấu trừ khi hai biến cố có phần chung lớn, bạn có thể "chứng minh" một xác suất vượt quá 1 — điều vô lý. Hãy thử: kéo n(A) = 20, n(B) = 20 rồi xem tổng 40/36 > 1, trong khi hợp thật sự không bao giờ vượt 36 điểm.
Câu hỏi thường gặp
Quy tắc cộng xác suất là gì? Với hai biến cố bất kỳ: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Phải trừ P(A∩B) vì khi cộng, các kết quả thuộc cả A lẫn B bị đếm hai lần.
Khi nào P(A∪B) = P(A) + P(B)? Khi A, B xung khắc: A∩B = ∅ nên P(A∩B) = 0 — hai vòng tròn Venn tách rời, không chấm nào bị đếm trùng.
Biến cố xung khắc có phải là biến cố độc lập không? Không! Xung khắc nghĩa là không thể cùng xảy ra (giao rỗng), còn độc lập nghĩa là việc này xảy ra không ảnh hưởng xác suất việc kia — hai khái niệm hoàn toàn khác nhau.
Ứng dụng thực tế
Phép đếm "cộng rồi trừ phần trùng" dùng ở khắp nơi:
- 🏫 Thống kê lớp học: số bạn giỏi Toán hoặc giỏi Văn = giỏi Toán + giỏi Văn − giỏi cả hai, tránh đếm trùng những bạn giỏi cả hai môn.
- 🎯 Marketing: ước tính tỉ lệ khách thấy quảng cáo trên Facebook hoặc TikTok phải trừ nhóm thấy trên cả hai nền tảng.
- 🏥 Y tế: xác suất một bệnh nhân có ít nhất một trong hai yếu tố nguy cơ được tính đúng bằng quy tắc cộng.
- 🎲 Trò chơi: cơ hội thắng khi đặt cược vào hai cửa có phần trùng nhau (ví dụ "số chẵn" và "số lớn hơn 6") phải dùng dấu trừ mới ra con số thật.