Quy tắc hình hộp là gì?
Trong chương vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian của Toán lớp 12 — bộ sách Kết nối tri thức, quy tắc hình hộp phát biểu: cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta luôn có AB + AD + AA′ = AC′. Nói cách khác, tổng của ba vectơ cạnh cùng xuất phát từ đỉnh A đúng bằng vectơ đường chéo của hình hộp đi từ A tới đỉnh đối diện C′. Đây là phiên bản không gian của quy tắc hình bình hành mà bạn đã học ở lớp 10.
Ý tưởng trực quan: đi bộ dọc ba cạnh
Cộng vectơ chính là nối các chuyến đi. Hãy tưởng tượng một chú kiến bò từ đỉnh A: đi hết cạnh AB, rẽ sang đi một đoạn bằng AD, rồi leo thẳng lên một đoạn bằng AA′. Hỏi kiến đang ở đâu? Đúng tại C′ — không phụ thuộc thứ tự ba chặng đường!
- Kéo ba thanh trượt a, b, c để chọn kích thước hình hộp chữ nhật.
- Bấm ▶ Cộng 3 vectơ: vectơ AB chạy trước, rồi vectơ bằng AD nối vào đầu mút, cuối cùng là vectơ bằng AA′.
- Quan sát điểm đến cuối cùng: luôn là đỉnh C′ đối diện với A qua tâm hộp.
- So sánh với mũi tên AC′ màu xanh lá — nó chính là tổng của ba vectơ, và độ dài của nó là √(a²+b²+c²).
Vì sao đúng?
Chỉ cần áp dụng quy tắc ba điểm (nối đuôi) hai lần:
• AB + AD = AC (quy tắc hình bình hành trong mặt đáy ABCD)
• AC + AA′ = AC + CC′ = AC′ (vì AA′ và CC′ là hai vectơ bằng nhau — cùng hướng, cùng độ dài)
Ghép hai bước lại ta được:
AB + AD + AA′ = AC + AA′ = AC′
Với hình hộp chữ nhật, độ dài đường chéo tính bằng cách dùng Pythagoras hai lần: AC² = a² + b² trong mặt đáy, rồi AC′² = AC² + c² = a² + b² + c². Vì vậy |AC′| = √(a²+b²+c²) — nhiều người gọi vui đây là "định lý Pythagoras 3 chiều".
Câu hỏi thường gặp
Quy tắc hình hộp của vectơ phát biểu thế nào? Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có AB + AD + AA′ = AC′: tổng ba vectơ cạnh cùng xuất phát từ A bằng vectơ đường chéo xuất phát từ A.
Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật tính thế nào? Nếu ba kích thước là a, b, c thì đường chéo dài √(a²+b²+c²) — áp dụng định lý Pythagoras hai lần liên tiếp.
Ứng dụng thực tế
Quy tắc hình hộp và đường chéo √(a²+b²+c²) rất hay gặp trong đời sống:
- 📦 Kiểm tra một cây gậy, ống nước dài có bỏ lọt vào thùng carton không: chiều dài tối đa chính là đường chéo hộp.
- 🛫 Định vị máy bay: vị trí là tổng của ba vectơ dịch chuyển theo hướng đông, hướng bắc và độ cao.
- 🎮 Đồ hoạ 3D và robot: mọi dịch chuyển trong không gian được tách thành ba thành phần theo ba trục rồi cộng lại như quy tắc hình hộp.
- 📺 Kích thước "đường chéo màn hình" của TV hộp đứng, tủ lạnh khi vận chuyển nghiêng qua khung cửa cũng tính bằng công thức này.