sin và cos là gì?
Hãy vẽ một vòng tròn bán kính 1 (gọi là vòng tròn đơn vị) với tâm tại gốc toạ độ. Lấy một điểm trên vòng tròn ứng với góc θ tính từ trục ngang. Khi đó toạ độ của điểm chính là (cos θ, sin θ): cos θ là hình chiếu ngang (hoành độ), còn sin θ là chiều cao (tung độ) của điểm. Đó là định nghĩa gọn nhất và tổng quát nhất của sin và cos.
Ý tưởng: chiều cao của điểm vẽ ra sóng
Khi cho điểm chạy đều quanh vòng tròn, chiều cao của nó (sin θ) thay đổi liên tục. Nếu ta vẽ chiều cao đó theo góc θ, ta được một đường lượn lên xuống — chính là sóng sin. Trò chơi phía trên minh hoạ đúng quá trình này.
- Vẽ vòng tròn bán kính 1, tâm tại gốc toạ độ.
- Chọn một góc θ và điểm tương ứng trên vòng tròn.
- Toạ độ điểm là (cos θ, sin θ).
- Khi θ tăng dần, chiều cao sin θ vẽ ra một đường sóng.
Vì sao đồ thị sin là sóng tuần hoàn?
Vì điểm quay tròn quay lại đúng vị trí cũ sau mỗi vòng (360°), nên chiều cao của nó cũng lặp lại y hệt. Do đó sóng sin tuần hoàn với chu kỳ 360° (hay 2π radian). Ngoài ra, sin và cos luôn ràng buộc nhau bởi định lý Pythagoras trên vòng tròn:
sin²θ + cos²θ = 1
Vì bán kính bằng 1 và (cos θ, sin θ) là toạ độ của điểm, theo định lý Pythagoras khoảng cách từ tâm tới điểm là √(cos²θ + sin²θ) = 1. Đường cos cũng là một sóng giống hệt đường sin nhưng dịch trước 90°.
Câu hỏi thường gặp
Radian là gì? Radian là cách đo góc theo độ dài cung trên vòng tròn đơn vị. Một vòng đầy đủ 360° bằng 2π radian, nên 180° = π radian và 90° = π/2 radian.
Vì sao sin lặp lại sau 360°? Vì sau mỗi 360° điểm quay đúng một vòng và trở về vị trí ban đầu, nên chiều cao (sin θ) và hình chiếu ngang (cos θ) cũng lấy lại đúng các giá trị cũ.
Ứng dụng thực tế
sin và cos xuất hiện ở khắp nơi quanh ta:
- 🌊 Mô tả dao động và sóng — sóng âm, sóng ánh sáng, sóng nước đều có dạng sin.
- ⚡ Dòng điện xoay chiều (AC) biến thiên theo hàm sin theo thời gian.
- 🪀 Chuyển động tròn và con lắc — vị trí của chúng được mô tả bằng sin và cos.
- 🎮 Đồ hoạ và game: dùng sin, cos để xoay vật thể, tạo quỹ đạo và hiệu ứng dao động.