Số phức trên mặt phẳng phức
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm có toạ độ (a; b) trên mặt phẳng: trục hoành là phần thực a, trục tung là phần ảo b. Vì thế số phức ứng một–một với một vectơ OM = (a; b) đi từ gốc O tới điểm biểu diễn M. Nhìn số phức như vectơ là chìa khoá để "thấy" phép cộng và phép trừ.
Các bước cộng trừ
- Tách thành phần: z₁ = a + bi, z₂ = c + di. Coi mỗi số là vectơ (a; b) và (c; d).
- Cộng: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i — cộng riêng phần thực, riêng phần ảo.
- Quy tắc hình bình hành: tổng là đường chéo hình bình hành dựng từ hai vectơ z₁, z₂.
- Trừ: z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i — là vectơ đi từ điểm z₂ tới điểm z₁.
Vì sao đúng?
Phép cộng số phức cộng riêng từng thành phần thực và ảo, y hệt cách cộng hai vectơ trong mặt phẳng cộng riêng từng toạ độ. Do đó mọi quy tắc hình học của vectơ — dời song song, quy tắc hình bình hành, quy tắc tam giác — đều áp dụng nguyên vẹn cho số phức. Phép trừ z₁ − z₂ = z₁ + (−z₂): lấy z₁ cộng với vectơ đối của z₂, nên vectơ kết quả nối từ đầu mút z₂ đến đầu mút z₁. Kéo thử trong game: khi z₁ và z₂ cùng hướng thì tổng dài ra; khi ngược hướng chúng triệt tiêu bớt.
Câu hỏi thường gặp
Cộng hai số phức thế nào? Cộng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. Về hình học đó là đường chéo hình bình hành.
Vì sao cộng số phức giống cộng vectơ? Vì a+bi ứng với vectơ (a; b); cộng số phức cộng riêng từng thành phần, đúng như cộng vectơ cộng riêng từng toạ độ, nên quy tắc hình bình hành áp dụng nguyên vẹn.
Ứng dụng thực tế
Cộng trừ số phức "kiểu vectơ" xuất hiện khi:
- ⚡ Cộng dòng/điện áp xoay chiều (phương pháp số phức trong điện kỹ thuật).
- 🌊 Tổng hợp dao động, sóng cùng tần số bằng cách cộng vectơ quay.
- 🧭 Tổng hợp lực, vận tốc trong vật lí — cùng quy tắc hình bình hành.
- 📐 Biến đổi hình học (tịnh tiến) biểu diễn bằng phép cộng số phức.