Mặt phẳng phức là gì?
Một số phức có dạng z=a+bi, trong đó a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo với i²=−1. Ta biểu diễn z bằng điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ: trục hoành Ox là trục thực, trục tung Oy là trục ảo. Mặt phẳng này gọi là mặt phẳng phức (hay giản đồ Argand).
Môđun và argument
Khoảng cách từ gốc O đến điểm M là môđun của số phức: |z|=√(a²+b²) — đúng bằng độ dài đoạn OM, theo định lý Pythagoras. Góc lượng giác từ chiều dương trục thực đến tia OM là argument θ, với tanθ = b/a. Cặp (|z|, θ) chính là dạng lượng giác của số phức.
Các bước đọc một số phức
- Đọc phần thực a = hoành độ của điểm M (chiếu xuống Ox).
- Đọc phần ảo b = tung độ của điểm M (chiếu sang Oy).
- Tính môđun |z|=√(a²+b²) = độ dài OM.
- Tìm argument θ = góc giữa OM và trục thực.
Số phức liên hợp z̄
Số phức liên hợp của z=a+bi là z̄=a−bi. Trên mặt phẳng phức, điểm biểu diễn z̄ là ảnh đối xứng của M qua trục thực Ox: giữ nguyên phần thực, đổi dấu phần ảo. Vì vậy z̄ có cùng môđun với z nhưng argument đối dấu. Tích z·z̄ = a²+b² = |z|² luôn là số thực không âm.
Ứng dụng thực tế
Số phức và mặt phẳng phức xuất hiện khi:
- ⚡ Mô tả dòng điện xoay chiều, tổng trở trong kỹ thuật điện.
- 🎵 Xử lý tín hiệu, âm thanh, ảnh (biến đổi Fourier).
- 🌀 Mô phỏng dao động, sóng và chuyển động quay.
- 🎨 Sinh hình fractal (tập Mandelbrot) trên mặt phẳng phức.