Nghiệm phức là gì?
Với phương trình bậc hai hệ số thực ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), ta tính biệt thức Δ = b² − 4ac. Khi Δ < 0, không có số thực nào là nghiệm, nhưng trong tập số phức phương trình vẫn có nghiệm: hai số phức liên hợp. Đơn vị ảo i thỏa mãn i² = −1 giúp lấy căn của số âm.
Công thức nghiệm phức
- Tính Δ = b² − 4ac và xét dấu.
- Nếu Δ < 0, viết √Δ = i√|Δ| (vì Δ âm).
- Hai nghiệm: x = (−b ± i√|Δ|) / (2a).
- Chúng là hai số phức liên hợp: cùng phần thực, phần ảo trái dấu.
Vì sao đối xứng qua trục thực?
Hai nghiệm có cùng phần thực −b/(2a) nhưng phần ảo là +√|Δ|/(2a) và −√|Δ|/(2a). Trên mặt phẳng phức (trục hoành là phần thực, trục tung là phần ảo), hai điểm cùng hoành độ và tung độ đối nhau thì đối xứng nhau qua trục thực. Khi Δ = 0 hai nghiệm trùng nhau nằm trên trục thực (nghiệm kép thực); khi Δ > 0 chúng là hai nghiệm thực phân biệt, cùng nằm trên trục thực.
Ứng dụng thực tế
Nghiệm phức xuất hiện khi:
- ⚡ Phân tích mạch điện xoay chiều (trở kháng phức).
- 🌊 Mô tả dao động tắt dần, sóng bằng số phức.
- 🎛️ Xét tính ổn định của hệ thống điều khiển (nghiệm đặc trưng).
- 🧮 Định lí cơ bản của đại số: mọi đa thức bậc n có đủ n nghiệm phức.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào phương trình bậc hai có nghiệm phức? Phương trình ax² + bx + c = 0 với hệ số thực và a ≠ 0 có nghiệm phức khi biệt thức Δ = b² − 4ac nhỏ hơn 0. Khi đó hai nghiệm là số phức liên hợp x = (−b ± i√|Δ|)/(2a), không có nghiệm thực nào.
Hai nghiệm phức liên hợp nằm ở đâu trên mặt phẳng phức? Chúng có cùng phần thực −b/(2a) và phần ảo trái dấu ±√|Δ|/(2a), nên đối xứng nhau qua trục thực (trục hoành). Khi Δ ≥ 0 nghiệm là số thực và nằm ngay trên trục thực.