Nhân số phức làm gì về mặt hình học?
Mỗi số phức z = a + bi ứng với một điểm trên mặt phẳng phức, có môđun |z| (khoảng cách tới gốc O) và argument arg(z) (góc so với chiều dương trục thực). Khi nhân z với một số phức w, điểm z bị quay một góc bằng arg(w) và co giãn khoảng cách tới O gấp |w| lần. Đây chính là ý nghĩa hình học cốt lõi của phép nhân số phức.
Quy tắc môđun và argument
- Môđun nhân nhau: |z·w| = |z| · |w|.
- Argument cộng nhau: arg(z·w) = arg(z) + arg(w).
- Nếu |w| > 1 thì z bị kéo dài ra; nếu |w| < 1 thì z bị co lại.
- Dạng lượng giác: z·w = |z||w|·(cos(θ₁+θ₂) + i·sin(θ₁+θ₂)).
Nhân với i là quay 90°
Số i có |i| = 1 và arg(i) = 90°. Vì môđun bằng 1, nhân với i không đổi độ dài; vì argument bằng 90°, nó chỉ quay điểm một góc 90° ngược chiều kim đồng hồ. Nhân hai lần liên tiếp cho quay 180°, đúng bằng nhân với i² = −1 (điểm đối xứng qua gốc O). Đây là cách nhìn trực quan giải thích vì sao i² = −1.
Ứng dụng thực tế
Phép quay và co giãn bằng số phức được dùng khi:
- 🔄 Biểu diễn phép quay 2D gọn nhẹ trong đồ họa và robot.
- 📡 Mô tả biên độ và pha của tín hiệu điện xoay chiều (kĩ thuật điện).
- 🌊 Phân tích sóng, dao động điều hòa bằng số phức.
- 🧮 Chứng minh nhanh các công thức lượng giác cộng góc.