Chia số phức bằng cách nào?
Muốn chia z₁=a+bi cho z₂=c+di (với z₂≠0), ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu là z̄₂=c−di. Khi đó mẫu trở thành z₂·z̄₂ = c²+d² = |z₂|² — một số thực dương. Vậy: z₁/z₂ = z₁·z̄₂/|z₂|². Nhờ mẫu là số thực, ta chỉ việc chia phần thực và phần ảo của z₁·z̄₂ cho số |z₂|².
Ý nghĩa hình học
Trên mặt phẳng phức, chia số phức có nghĩa hình học rất đẹp: chia môđun và trừ argument. Cụ thể |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| và arg(z₁/z₂) = arg(z₁) − arg(z₂). Vì thế, điểm z₁ được quay ngược một góc bằng argument của z₂ rồi co giãn theo tỉ lệ 1/|z₂|. Đây chính là phép quay đối ngược với phép nhân số phức.
Các bước chia
- Viết số phức liên hợp của mẫu z̄₂=c−di.
- Nhân tử và mẫu với z̄₂: mẫu thành |z₂|²=c²+d².
- Khai triển tử z₁·z̄₂ (nhớ i²=−1).
- Chia từng phần thực và ảo cho |z₂|² để ra kết quả.
Vì sao nhân liên hợp làm mẫu thành số thực?
Vì tích của một số phức với liên hợp của nó luôn là số thực không âm: z₂·z̄₂ = (c+di)(c−di) = c² − (di)² = c² + d² = |z₂|². Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, với phần ảo triệt tiêu. Nhờ mẫu là số thực, phép chia số phức được đưa về phép chia cho một số thực — điều ta đã quen thuộc.
Ứng dụng thực tế
Phép chia số phức xuất hiện khi:
- ⚡ Tính tổng trở, dòng và áp trong mạch điện xoay chiều.
- 📡 Xử lý tín hiệu, lọc số và biến đổi Fourier.
- 🌀 Mô tả phép quay và co giãn kết hợp trong hình học.
- 🎛️ Phân tích hệ điều khiển bằng hàm truyền phức.