Số phức và mặt phẳng phức
Một số phức có dạng z = a + bi, trong đó a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo với i² = −1. Ta biểu diễn z bằng điểm (a; b) trên mặt phẳng phức: trục hoành là phần thực, trục tung là phần ảo. Độ dài từ gốc tới điểm là môđun |z| = √(a²+b²), còn góc với trục thực là acgumen (góc pha).
Bốn phép tính
- Cộng / trừ: cộng (trừ) từng phần: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i — chính là cộng/trừ vectơ.
- Nhân: khai triển rồi thay i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i.
- Chia: nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu: z₁/z₂ = z₁·z̄₂ / |z₂|² (cần z₂ ≠ 0).
- Liên hợp của z = a + bi là z̄ = a − bi (lấy đối xứng qua trục thực).
Ý nghĩa hình học của nhân và chia
Nhân hai số phức: môđun nhân với nhau và góc cộng lại — |z₁z₂| = |z₁|·|z₂|, arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂. Nghĩa là nhân với z₂ vừa phóng to (co) theo |z₂| vừa quay một góc arg z₂. Chia thì ngược lại: môđun chia cho nhau, góc trừ đi. Đó là lí do số phức mô tả rất gọn các phép quay và co giãn trong mặt phẳng.
Ứng dụng thực tế
Số phức được dùng rộng rãi:
- ⚡ Kĩ thuật điện: dòng, áp xoay chiều biểu diễn bằng số phức (phasor).
- 📡 Xử lí tín hiệu, biến đổi Fourier, viễn thông.
- 🎛️ Điều khiển tự động, phân tích hệ dao động.
- 🌀 Mô tả gọn phép quay và co giãn trong đồ hoạ, hình học.