Số thực lấp đầy trục số
Tập số thực ℝ gồm tất cả số hữu tỉ và tất cả số vô tỉ. Trên trục số, mỗi điểm ứng với đúng một số thực, và ngược lại mỗi số thực ứng với đúng một điểm. Vì thế người ta nói số thực lấp đầy trục số: không còn một khe hở nào.
Phóng to để thấy sự dày đặc
- Chọn một đoạn nhỏ, ví dụ giữa 1,4 và 1,5.
- Phóng to lên: xuất hiện thêm nhiều số như 1,41; 1,42; 1,414…
- Giữa hai số vừa thấy lại còn vô số số nữa — cả hữu tỉ lẫn vô tỉ.
- Dù phóng to bao nhiêu lần, trục vẫn kín đặc, không bao giờ hết số.
Vì sao không có khe hở?
Giữa hai số thực khác nhau a < b luôn tồn tại số thực khác, chẳng hạn trung bình cộng (a + b)/2. Lặp lại mãi, ta luôn chèn thêm được số mới. Tính chất này gọi là tính trù mật: số hữu tỉ trù mật, số vô tỉ cũng trù mật, và cùng nhau chúng lấp kín toàn bộ trục số.
Điều thú vị là số vô tỉ còn nhiều hơn số hữu tỉ rất nhiều. Nhưng khi vẽ, cả hai loại đều nằm sát nhau đến mức mắt thường không phân biệt được đâu là khe hở — vì thực ra chẳng có khe hở nào cả.
Ứng dụng thực tế
Ý tưởng trục số liên tục xuất hiện khắp nơi:
- 📊 Trục tọa độ, đồ thị hàm số dùng số thực liên tục.
- 📏 Đo lường thực tế: chiều dài, thời gian là các đại lượng liên tục.
- 🌡️ Thang nhiệt độ, cân nặng nhận mọi giá trị thực trung gian.
- 🧮 Máy tính chỉ hiển thị số gần đúng, nhưng giá trị thật là một số thực.