Số vô tỉ là gì?
Số vô tỉ là số không viết được dưới dạng phân số a/b của hai số nguyên. Khi viết ở dạng thập phân, số vô tỉ có phần thập phân vô hạn và không tuần hoàn — chữ số sau dấu phẩy không bao giờ dừng lại và cũng không lặp theo chu kỳ. Ngược lại, số hữu tỉ (như 1/2 = 0,5 hay 1/3 = 0,333…) hoặc dừng, hoặc lặp có chu kỳ. Trong bộ sách Kết nối tri thức, học sinh Lớp 7 gặp số vô tỉ đầu tiên chính qua căn bậc hai như √2.
Vì sao đường chéo ô vuông đơn vị bằng √2?
Lấy một ô vuông đơn vị có cạnh bằng 1. Kẻ đường chéo, nó chia ô vuông thành hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đều bằng 1. Áp dụng định lý Pythagore cho một tam giác vuông đó:
- Ô vuông có cạnh 1, nên diện tích bằng 1 × 1 = 1.
- Đường chéo d là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh 1 và 1.
- Theo Pythagore: d² = 1² + 1² = 2.
- Suy ra d = √2 ≈ 1,41421356…, một số vô tỉ.
Một cách nhìn khác: dựng một hình vuông nằm trên đường chéo. Hình vuông đó ghép được từ hai nửa ô vuông đơn vị, nên có diện tích bằng 2. Vì diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh, cạnh của nó (chính là đường chéo d) thỏa mãn d² = 2, tức d = √2.
Đặt √2 lên trục số
Vì độ dài không đổi khi ta xoay, có thể bắc một cung tròn tâm tại gốc O, bán kính bằng đường chéo, quét xuống trục số. Điểm cung chạm trục số chính là vị trí của √2. Nó nằm giữa 1 và 2, gần 1,41 — vì 1² = 1 < 2 < 4 = 2², nên 1 < √2 < 2. Đây là cách người xưa dùng compa và thước để "vẽ" ra một số vô tỉ trên trục số.
Câu hỏi thường gặp
√2 có phải phân số không? Không. Người ta chứng minh được √2 không thể viết thành a/b tối giản của hai số nguyên — nếu viết được sẽ dẫn tới mâu thuẫn. Vì vậy √2 là số vô tỉ.
√2 nằm giữa hai số nguyên nào? Giữa 1 và 2, vì 1² = 1 nhỏ hơn 2 và 2² = 4 lớn hơn 2. Chính xác hơn, √2 ≈ 1,414 nên nó nằm giữa 1,4 và 1,5.
Ứng dụng thực tế
Số √2 và đường chéo ô vuông xuất hiện ở nhiều nơi:
- 📄 Khổ giấy A4, A3… có tỉ số cạnh đúng bằng √2, nên gấp đôi khổ vẫn giữ nguyên tỉ lệ.
- 📐 Tính đường chéo màn hình, viên gạch, sân bóng từ hai cạnh vuông góc.
- 🎵 √2 gần đúng bằng nửa quãng tám (12 nốt) trong âm nhạc bình quân luật.
- 🏛️ Kiến trúc và nghệ thuật cổ dùng đường chéo hình vuông để dựng tỉ lệ đẹp.