Các phép toán trên tập hợp
Một tập hợp là một nhóm các phần tử. Với hai tập A và B, sơ đồ Venn vẽ mỗi tập là một hình tròn; phần chồng lên nhau chứa các phần tử thuộc cả hai. Từ đó ta định nghĩa bốn phép toán quen thuộc: giao, hợp, hiệu và phần bù.
Định nghĩa từng phép
- Giao A ∩ B: phần tử thuộc cả A và B (vùng chồng nhau).
- Hợp A ∪ B: phần tử thuộc A hoặc B (gộp cả hai hình tròn).
- Hiệu A \ B: phần tử thuộc A nhưng không thuộc B (phần A ngoài B).
- Phần bù: phần tử của không gian nhưng không thuộc A (ngoài hình tròn A).
Quan hệ tập con A ⊂ B
Tập A là tập con của B, viết A ⊂ B, khi mọi phần tử của A đều thuộc B. Khi đó trên sơ đồ Venn, hình tròn A nằm gọn bên trong B, và A ∩ B = A, còn A ∪ B = B. Tập rỗng ∅ là tập con của mọi tập hợp.
Vì sao đếm được?
Số phần tử của hợp thỏa công thức |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Ta trừ đi |A ∩ B| vì các phần tử chung đã bị đếm hai lần (một lần trong A, một lần trong B). Đây chính là nguyên lý bù trừ — bạn có thể kiểm chứng trực tiếp bằng cách đếm từng vùng trong game.
Ứng dụng thực tế
Phép toán tập hợp có mặt khắp nơi:
- 🔎 Tìm kiếm và lọc dữ liệu (AND = giao, OR = hợp, NOT = phần bù).
- 📊 Thống kê, khảo sát: bao nhiêu người thích cả hai môn.
- 🎲 Xác suất của biến cố hợp, biến cố giao.
- 🗄️ Truy vấn cơ sở dữ liệu bằng phép JOIN, UNION.