Ý tưởng: cộng các lát mỏng
Muốn tính thể tích một vật thể có hình dạng phức tạp, ta cắt nó thành nhiều lát mỏng bằng các mặt phẳng song song, vuông góc với một trục (trục Ox). Mỗi lát mỏng gần như một khối lăng trụ có đáy là mặt cắt diện tích S(x) và chiều dày Δx, nên thể tích của lát ≈ S(x)·Δx.
Từ tổng đến tích phân
Cộng thể tích tất cả các lát ta được tổng ∑ S(xᵢ)·Δx — một tổng Riemann. Khi cho số lát tăng vô hạn (Δx → 0), tổng này tiến tới giới hạn chính là tích phân: V = ∫ₐᵇ S(x)dx. Đó là công thức tính thể tích vật thể theo diện tích mặt cắt.
Trường hợp tròn xoay
Nếu vật thể sinh ra khi quay một hình quanh trục Ox, mỗi mặt cắt là một hình tròn bán kính r(x), nên S(x) = π·[r(x)]². Khi đó V = π∫ₐᵇ [r(x)]²dx. Ví dụ hình cầu bán kính R có r(x) = √(R²−x²), cho V = 4/3·πR³; hình nón cao h bán kính đáy R cho V = 1/3·πR²h.
Các bước tính
Vì sao chỉ vài lát đã cho kết quả gần đúng khá tốt? Vì mỗi lát coi mặt cắt là không đổi trong suốt bề dày, nên phần sai chỉ nằm ở chỗ mặt cắt thật thay đổi một chút bên trong lát. Bề dày càng nhỏ, phần thay đổi đó càng ít, sai số giảm gần như tỉ lệ với bề dày. Vì thế khi kéo số lát n tăng lên, tổng thể tích các lát tiến rất nhanh về giá trị giới hạn — đó chính là tích phân ∫S(x)dx, tức thể tích thật của vật thể.
- Chọn trục và xác định cận a, b của vật thể trên trục đó.
- Tìm diện tích mặt cắt S(x) tại vị trí x bất kì.
- Lập tích phân V = ∫ₐᵇ S(x)dx (với tròn xoay: S(x)=π·[r(x)]²).
- Tính tích phân để ra thể tích chính xác.
Ứng dụng thực tế
Cắt lát để tính thể tích được dùng rộng rãi:
- 🏺 Tính thể tích bình, chai, chi tiết máy tiện tròn xoay.
- 🏥 Ảnh CT/MRI cắt cơ thể thành lát để dựng thể tích khối u.
- 🌉 Ước lượng khối lượng đất đá, bê tông theo các mặt cắt ngang.
- 🖨️ In 3D cắt vật thể thành từng lớp mỏng để bồi đắp.