Định lý tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau là gì?
Trong chương trình Toán lớp 9 — bộ sách Kết nối tri thức, sau khi học sin, cos, tan, cot của góc nhọn, ta gặp một định lý rất đẹp: nếu hai góc phụ nhau (tổng bằng 90°) thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia. Viết bằng công thức: sin α = cos(90°−α), cos α = sin(90°−α), tan α = cot(90°−α) và cot α = tan(90°−α).
Bốn công thức nghe có vẻ nhiều, nhưng thực chất chỉ là một ý duy nhất nhìn từ hai phía của cùng một tam giác vuông. Trò chơi phía trên giúp bạn tự tay kéo, tự mắt thấy điều đó thay vì học thuộc lòng.
Ý tưởng trò chơi
Tam giác ABC vuông tại C có hai góc nhọn: góc α tại đỉnh A và góc β tại đỉnh B. Vì tổng ba góc của tam giác bằng 180° mà góc C đã chiếm 90°, nên α + β = 90° — hai góc nhọn luôn phụ nhau, kéo kiểu gì cũng vậy. Cạnh BC là cạnh đối của α nhưng đồng thời là cạnh kề của β; cạnh AC thì ngược lại; còn cạnh huyền AB là của chung cả hai góc.
- Kéo thanh trượt góc α hoặc kéo trực tiếp điểm B màu hồng trên hình — góc β tự động bằng 90° − α, dòng "α + β = 90°" luôn đúng.
- Rê chuột / chạm vào từng cạnh: cạnh sáng vàng lên và hiện đồng thời hai "vai trò" của nó — ví dụ BC vừa là đối của α vừa là kề của β.
- Nhìn bảng tỉ số ở góc trái: sin α và cos β tô cùng màu xanh lá vì luôn bằng nhau; cos α và sin β cùng màu hồng; tan α và cot β cùng màu vàng.
- Bấm 🔄 Đổi vai α ↔ β để lật tam giác: β chạy sang đóng vai "góc bên trái" mà mọi tỉ số vẫn giữ nguyên giá trị. Bấm 📋 Bảng góc đẹp để xem cặp 30°–60° và 45°–45°.
Vì sao định lý đúng?
Bí mật nằm ở chỗ: trong tam giác vuông, cạnh đối của góc nhọn này chính là cạnh kề của góc nhọn kia, còn cạnh huyền thì dùng chung. Vì vậy:
sin α = BC/AB (đối của α trên huyền) = cos β (kề của β trên huyền)
Cùng một phân số BC/AB, chỉ đổi tên gọi tuỳ theo ta đứng ở góc nào mà nhìn. Tương tự, cos α = AC/AB = sin β và tan α = BC/AC = cot β. Chuyện này còn để lại dấu vết trong ngôn ngữ: chữ cosine ra đời từ cụm La-tinh complementi sinus — nghĩa là "sin của góc phụ". Tên gọi cos đã "khai" sẵn định lý này rồi!
Câu hỏi thường gặp
Hai góc phụ nhau là gì? Là hai góc có tổng số đo bằng 90°. Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn luôn phụ nhau: α + β = 90°, tức β = 90° − α.
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau có tính chất gì? Nếu α + β = 90° thì sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β và cot α = tan β. Mẹo nhớ: "sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia".
Vì sao sin α = cos(90°−α)? Vì trong tam giác vuông, cạnh đối của góc này là cạnh kề của góc kia và cạnh huyền là chung, nên hai tỉ số ấy là cùng một phân số — hãy rê vào cạnh BC trong game để thấy nó mang cả hai "vai".
Ứng dụng thực tế
Định lý nhỏ này giúp ích nhiều hơn bạn nghĩ:
- 📖 Rút gọn bảng giá trị: chỉ cần thuộc sin và cos từ 0° đến 45° là suy ra được toàn bộ 45°–90°, vì sin 70° = cos 20°, cos 80° = sin 10°…
- 🔢 Máy tính bỏ túi và máy tính đời đầu cũng tận dụng tính chất này để tiết kiệm bộ nhớ bảng lượng giác — lưu nửa bảng là đủ.
- 🌤️ Đo chiều cao bằng bóng nắng: khi tia nắng hợp với mặt đất góc α, cây cao h đổ bóng dài h·cot α = h·tan(90°−α) — đổi vai góc là đổi giữa tan và cot.
- ✅ Kiểm tra chéo khi làm bài: tính xong sin 35° ≈ 0,574 thì bấm thử cos 55° — nếu không trùng nhau là biết ngay mình bấm nhầm.