Tích phân từng phần là gì?
Khi cần tính nguyên hàm của một tích hai hàm (ví dụ x·eˣ), quy tắc thường không đủ. Tích phân từng phần cho ta công thức ∫u dv = uv − ∫v du. Ý tưởng: đổi một tích phân khó thành một tích phân dễ hơn.
Công thức đến từ đâu?
Từ quy tắc đạo hàm của tích: (uv)′ = u′v + uv′. Lấy nguyên hàm hai vế: uv = ∫u′v dx + ∫uv′ dx. Chuyển vế ta được ∫u dv = uv − ∫v du, với dv = v′ dx và du = u′ dx.
Các bước làm
- Chọn u và dv theo quy tắc ưu tiên L-I-A-T-E (Logarit, Đa thức, Lượng giác, Mũ).
- Tính du (đạo hàm của u) và v (nguyên hàm của dv).
- Thay vào công thức uv − ∫v du.
- Tính ∫v du — nay đã đơn giản hơn — rồi cộng hằng số C.
Vì sao lại đổi được tích phân khó thành dễ?
Bí quyết nằm ở việc chọn u sao cho đạo hàm du đơn giản hơn chính nó, còn dv lại dễ lấy nguyên hàm. Với ∫x·eˣ dx, ta chọn u = x nên du = dx (mất hẳn biến x), còn dv = eˣ dx nên v = eˣ vẫn dễ. Sau khi thay vào, tích phân còn lại ∫v du = ∫eˣ dx đã đơn giản hơn hẳn bài đầu. Nếu chọn ngược (u = eˣ, dv = x dx) thì tích phân mới còn phức tạp hơn — đó là lí do quy tắc L-I-A-T-E giúp ta chọn đúng ngay từ đầu. Khi biểu thức có bậc đa thức cao, ta chỉ việc lặp lại tích phân từng phần nhiều lần cho tới khi phần đa thức tiêu biến.
Ứng dụng thực tế
Tích phân từng phần rất hay dùng khi:
- 📶 Xử lí tín hiệu: biến đổi Laplace, Fourier có dạng ∫ t·eˢᵗ, ∫ t·cos(ωt).
- 📈 Xác suất: tính kì vọng E[X] = ∫ x·f(x) dx với x nhân mật độ.
- ⚙️ Vật lí: công cơ học, mô men khi lực biến thiên theo quãng đường.
- 🔁 Lặp lại nhiều lần để hạ bậc đa thức, ví dụ ∫ x²·eˣ dx.