Tích vô hướng: góc và công

Công thức chìa khóa

Tích vô hướng của hai vectơ a và b được định nghĩa bằng a·b = |a||b|cosθ, trong đó θ là góc giữa chúng. Nếu biết tọa độ thì còn có cách tính nhanh: a·b = a_xb_x + a_yb_y. Hai cách này luôn cho cùng một kết quả, và chính sự trùng khớp đó mở ra hai ứng dụng lớn.

Ứng dụng 1 — Tính góc giữa hai vectơ

Từ a·b = |a||b|cosθ, chia hai vế cho |a||b| ta được công thức tính góc: cosθ = (a·b) / (|a||b|). Chỉ cần tính tích vô hướng theo tọa độ, tính hai độ dài rồi chia, cuối cùng lấy arccos là ra góc.

1. Tính a·b = a_xb_x + a_yb_y.
2. Tính hai độ dài |a| và |b|.
3. Lập cosθ = (a·b) / (|a||b|).
4. Lấy góc θ = arccos(cosθ). Nếu a·b = 0 thì θ = 90°.

Ứng dụng 2 — Tính công của một lực

Trong vật lí, khi một lực F làm vật dịch chuyển một độ dời d, công sinh ra chính là một tích vô hướng: A = F·d = |F||d|cosθ. Chỉ thành phần lực cùng phương với độ dời mới sinh công. Vì thế: F cùng hướng d ⇒ công dương lớn nhất; F vuông góc d ⇒ công bằng 0 (như lực hướng tâm không sinh công); F ngược hướng d ⇒ công âm (lực cản).

Vì sao công thức đúng?

Điểm mấu chốt là tích vô hướng có hai cách tính cho cùng một kết quả. Cách hình học a·b = |a||b|cosθ nói lên bản chất: nó đo mức độ "cùng hướng" của hai vectơ. Cách tọa độ a·b = a_xb_x + a_yb_y lại tính được ngay từ số liệu. Ghép hai cách lại, ta rút được cosθ từ tọa độ (ra góc), và cũng chính cấu trúc đó cho biết chỉ phần lực song song với độ dời mới sinh công (ra công A = F·d). Vì cosθ nằm trong đoạn [−1; 1] nên: cùng hướng θ = 0 cho giá trị lớn nhất, vuông góc θ = 90° cho 0, ngược hướng θ = 180° cho giá trị âm nhất — đúng như trực giác về công.

Ứng dụng thực tế

Bộ đôi góc – công xuất hiện khắp nơi:

• 🧲 Kiểm tra hai vectơ có vuông góc không (a·b = 0).
• ⚙️ Tính công khi kéo vali, đẩy xe theo phương xiên.
• 🎮 Đồ họa game: chiếu sáng, phản xạ, góc nhìn của camera.
• 🛰️ Vật lí, kĩ thuật: năng lượng, hình chiếu, phân tích lực.