Tiệm cận xiên là gì?
Với hàm phân thức y = (ax² + bx + c)/(dx + e), bậc của tử (bằng 2) lớn hơn bậc của mẫu (bằng 1) đúng một đơn vị. Khi đó đồ thị không áp sát một đường nằm ngang mà áp sát một đường thẳng xiên khi x tiến ra vô cực. Đường thẳng đó gọi là tiệm cận xiên.
Các bước tìm tiệm cận xiên
- Chia đa thức tử cho mẫu: viết y = (mx + n) + R/(dx + e).
- Phần dư R/(dx + e) → 0 khi x → ±∞ (mẫu lớn dần).
- Vậy đường thẳng y = mx + n là tiệm cận xiên của đồ thị.
- Nghiệm của mẫu (x = −e/d) cho tiệm cận đứng.
Vì sao đồ thị áp sát đường xiên?
Khoảng cách theo phương đứng giữa đồ thị và đường y = mx + n chính là phần dư R/(dx + e). Khi x càng lớn, mẫu dx + e càng lớn, nên phần dư càng gần 0. Đồ thị vì thế ép sát vào đường xiên nhưng nói chung không bao giờ cắt nó ở vô cực. Với hàm bậc hai chia bậc nhất, hệ số của tiệm cận xiên là m = a/d.
Ứng dụng thực tế
Tiệm cận xiên hữu ích khi:
- 📈 Vẽ nhanh dáng điệu đồ thị khi khảo sát hàm số.
- 🏭 Mô tả xu hướng tăng tuyến tính của chi phí, năng suất khi quy mô lớn.
- 🔭 Xấp xỉ hành vi của một đại lượng bằng một đường thẳng ở xa gốc.
- 🧮 Kiểm tra kết quả phép chia đa thức trong đại số.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào đồ thị có tiệm cận xiên? Hàm phân thức có tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu đúng một đơn vị. Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang; nếu bậc tử nhỏ hơn thì trục hoành là tiệm cận ngang; chỉ khi hơn đúng một bậc mới xuất hiện đường xiên.
Tìm tiệm cận xiên thế nào? Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu để viết y = (mx + n) + R/(dx + e). Đường thẳng y = mx + n chính là tiệm cận xiên; ngoài ra hàm còn có tiệm cận đứng tại nghiệm của mẫu, tức x = −e/d.