Bài toán thứ hai về phân số
Trong Toán lớp 6 — bộ sách Kết nối tri thức, có hai bài toán cơ bản về phân số. Bài thứ nhất: tìm giá trị phân số của một số cho trước (lấy số đó nhân với phân số). Bài thứ hai — chính là trò chơi này — đi ngược lại: biết m/n của một số bằng a, hãy tìm số đó. Quy tắc: x = a : m/n = a × n/m. Ví dụ quen thuộc: 2/3 của một số bằng 8, vậy số đó là 8 : 2/3 = 8 × 3/2 = 12.
Ý tưởng trực quan: sơ đồ băng giấy
Hãy vẽ số cần tìm thành một băng giấy chia đều n phần (n là mẫu số). Khi đó m/n của số chính là m phần đầu tiên. Bài toán trở nên rõ như ban ngày:
- Tô đậm m phần — cả cụm này có giá trị đã biết là a.
- Suy ra một phần có giá trị a : m.
- Cả băng giấy gồm n phần, nên số cần tìm là (a : m) × n.
- Viết gọn: x = a × n/m — đúng bằng a chia cho phân số m/n.
Vì sao chia cho m/n bằng nhân với n/m?
Từ sơ đồ, số cần tìm được tính qua hai bước: chia cho m rồi nhân với n:
x = (a : m) × n = a × n/m = a : m/n
Phép "chia cho một phân số" nghe trừu tượng, nhưng sơ đồ cho thấy nó chỉ là hai phép tính quen thuộc nối tiếp nhau. Phân số n/m — đảo ngược của m/n — xuất hiện hoàn toàn tự nhiên: chia cho m (mẫu của n/m) và nhân với n (tử của n/m). Đây cũng chính là quy tắc "nhân với phân số nghịch đảo" mà em dùng trong phép chia phân số.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao phân biệt hai bài toán về phân số? Nếu đề cho cả số và hỏi giá trị của m/n, ta nhân với m/n. Nếu đề cho giá trị của m/n và hỏi cả số, ta chia cho m/n. Mẹo: cái gì "cả số" chưa biết thì phải chia.
Nếu m/n lớn hơn 1 thì sao? Quy tắc vẫn đúng. Ví dụ 5/4 của một số bằng 20 thì số đó là 20 × 4/5 = 16 — nhỏ hơn 20, vì 5/4 của nó đã "vượt" cả số.
Ứng dụng thực tế
Bài toán "suy ngược từ phân số" gặp hằng ngày:
- 💰 Đã tiêu 2/5 số tiền tiết kiệm, hết 200 000 đồng → cả khoản tiết kiệm là 200 000 × 5/2 = 500 000 đồng.
- 📖 Đọc được 3/4 cuốn sách, tức 180 trang → cuốn sách dày 180 × 4/3 = 240 trang.
- ⛽ Kim xăng chỉ còn 1/3 bình, tương ứng 12 lít → bình xăng chứa được 12 × 3 = 36 lít.
- 🏫 3/5 số học sinh của lớp là 21 bạn nữ → sĩ số lớp là 21 × 5/3 = 35 bạn.