Bài toán tối ưu là gì?
Rất nhiều bài toán thực tế hỏi: làm sao cho lớn nhất / nhỏ nhất? Thể tích hộp lớn nhất, diện tích vườn lớn nhất, chi phí thấp nhất… Chìa khoá là đưa đại lượng cần tối ưu về hàm một biến rồi dùng đạo hàm tìm cực trị.
Ví dụ: cắt góc gấp hộp
Tấm bìa vuông cạnh a. Cắt bốn góc hình vuông cạnh x rồi gấp lên. Hộp có đáy vuông cạnh (a − 2x) và chiều cao x, nên thể tích V(x) = x(a − 2x)², với điều kiện 0 < x < a/2.
Các bước giải
- Đặt biến x và nêu điều kiện (0 < x < a/2).
- Lập hàm một biến: V(x) = x(a − 2x)² = 4x³ − 4ax² + a²x.
- Đạo hàm và giải V′(x) = 12x² − 8ax + a² = 0 → x = a/6 (trong khoảng cho phép).
- Xét dấu V′: đổi từ + sang − tại x = a/6 → đó là cực đại, V lớn nhất = 2a³/27.
Ví dụ 2: rào vườn diện tích lớn nhất
Có 40 m hàng rào, muốn quây một mảnh vườn hình chữ nhật dựa vào một bức tường có sẵn (chỉ phải rào ba cạnh). Gọi x là chiều rộng (vuông góc với tường), thì cạnh còn lại dài (40 − 2x), nên diện tích S(x) = x(40 − 2x). Đây là một parabol quay xuống, đạt cực đại tại đỉnh: S′(x) = 40 − 4x = 0 → x = 10, cho diện tích lớn nhất S = 200 m². Bài này minh hoạ cùng một quy trình: đặt biến, lập hàm một biến, rồi cho đạo hàm bằng 0. Khác biệt duy nhất là hình dạng hàm — hộp cho hàm bậc ba, còn rào vườn cho hàm bậc hai — nhưng ý tưởng tìm cực trị bằng đạo hàm thì hoàn toàn giống nhau. Bấm nút chuyển chế độ trong game để so sánh hai đồ thị.
Ứng dụng thực tế
Bài toán cực trị thực tế xuất hiện khắp nơi:
- 📦 Thiết kế bao bì: ít vật liệu nhất mà chứa nhiều nhất.
- 🌾 Rào diện tích lớn nhất với hàng rào có sẵn (chu vi cho trước).
- 💰 Kinh tế: tối đa lợi nhuận, tối thiểu chi phí, giá bán tối ưu.
- 🚗 Kĩ thuật: tiết kiệm nhiên liệu, quãng đường ngắn nhất, sức bền lớn nhất.