Ứng dụng đạo hàm: tốc độ thay đổi

Đạo hàm là tốc độ thay đổi

Khi một đại lượng thay đổi theo thời gian, ta thường muốn biết nó đang thay đổi nhanh hay chậm ngay lúc này. Đó chính là đạo hàm: f'(t) là tốc độ thay đổi tức thời của f tại thời điểm t. Nếu f là dân số theo năm thì f' là số người tăng thêm mỗi năm; nếu f là nhiệt độ thì f' là mức nguội đi mỗi phút.

Vì sao bằng độ dốc tiếp tuyến?

1. Tốc độ trung bình trên khoảng từ t đến t+h là [f(t+h) − f(t)] / h — đúng bằng độ dốc cát tuyến.
2. Cho h → 0: cát tuyến xoay dần về tiếp tuyến tại điểm đang xét.
3. Giới hạn đó là f'(t) — chính là độ dốc của tiếp tuyến của đồ thị tại t.

Đọc dấu của đạo hàm

Tiếp tuyến dốc lên ⇒ f'(t) > 0, đại lượng đang tăng. Tiếp tuyến nằm ngang ⇒ f'(t) = 0, đại lượng đạt đỉnh, đáy hoặc dừng. Tiếp tuyến dốc xuống ⇒ f'(t) < 0, đại lượng đang giảm — như cốc cà phê nguội dần.

Ứng dụng thực tế

Tốc độ thay đổi tức thời có mặt khắp nơi:

• 🚗 Vật lí: vận tốc là đạo hàm quãng đường, gia tốc là đạo hàm vận tốc.
• 👥 Dân số học: tốc độ tăng dân số theo năm.
• ☕ Nhiệt học: tốc độ làm nguội của vật theo định luật Newton.
• 💧 Thủy lực & kinh tế: tốc độ dòng chảy, tốc độ lãi, biên chi phí.