Vì sao quãng đường = tích phân vận tốc?
Vận tốc là tốc độ thay đổi của quãng đường theo thời gian: v(t) = s'(t). Vì thế s là nguyên hàm của v. Theo định lý cơ bản của giải tích, độ dịch chuyển từ thời điểm t₁ đến t₂ bằng:
s(t₂) − s(t₁) = ∫t₁t₂ v(t) dt
Trên đồ thị, tích phân này chính là diện tích giữa đường v(t) và trục thời gian. Chia đoạn thời gian thành nhiều dải mỏng bề rộng Δt: mỗi dải là một quãng đường nhỏ v·Δt; cộng lại và cho Δt → 0 ta được tích phân.
Diện tích có dấu
Khi v > 0, vật chuyển động theo chiều dương, diện tích tính cộng. Khi v < 0, vật đi lùi, phần diện tích dưới trục tính trừ. Vì vậy tích phân ∫v dt cho độ dịch chuyển (vị trí cuối so với đầu), có thể dương, âm hoặc bằng 0.
Quãng đường đi được thật sự
Muốn biết vật đã đi tổng cộng bao xa (không quan tâm chiều), ta lấy giá trị tuyệt đối của vận tốc:
Quãng đường = ∫t₁t₂ |v(t)| dt
Đây luôn ≥ độ dịch chuyển. Chúng bằng nhau khi vật chỉ đi một chiều (v không đổi dấu).
Các bước làm bài
- Tìm các thời điểm v(t) = 0 để biết vật đổi chiều.
- Tính tích phân trên từng đoạn cùng dấu của v.
- Cộng đại số → độ dịch chuyển; cộng trị tuyệt đối → quãng đường.
- Đối chiếu với diện tích trên đồ thị để kiểm tra.
Ứng dụng thực tế
Ý tưởng "tích phân tốc độ = lượng tích luỹ" xuất hiện khắp nơi:
- 🚗 Ô tô: từ vận tốc kế suy ra quãng đường đã đi.
- 💧 Lưu lượng nước: tích phân → tổng thể tích chảy qua.
- 🔋 Dòng điện theo thời gian: tích phân → điện lượng.
- 📈 Tốc độ tăng trưởng: tích phân → tổng lượng tăng.