Tích vô hướng là gì?
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số (không phải vectơ), ký hiệu a·b. Có hai cách tính luôn cho cùng kết quả: theo góc giữa hai vectơ, a·b = |a|·|b|·cosθ; và theo tọa độ, a·b = aₓ·bₓ + a_y·b_y. Nó đo mức độ hai vectơ "cùng hướng" với nhau.
Các bước tính a·b
- Tính theo tọa độ: nhân các thành phần cùng tên rồi cộng: a·b = aₓbₓ + a_yb_y.
- Tính độ dài: |a| = √(aₓ² + a_y²) và tương tự cho |b|.
- Tìm góc: cosθ = (a·b) / (|a|·|b|), từ đó suy ra θ.
- Đọc dấu: θ nhọn → dương, θ tù → âm, θ = 90° → bằng 0 (vuông góc).
Vì sao a·b liên quan đến hình chiếu?
Đặt hai vectơ chung gốc và hạ hình chiếu của b xuống đường thẳng chứa a. Độ dài hình chiếu (có dấu) là |b|·cosθ. Nhân với |a| ta được a·b = |a|·(|b|cosθ). Vì thế tích vô hướng chính là "độ dài của a" nhân "phần của b nằm dọc theo a". Khi b nghiêng quá 90° so với a, hình chiếu đổi chiều nên tích âm; khi b vuông góc a, hình chiếu bằng 0 nên tích bằng 0.
Tính chất và trường hợp đặc biệt
Tích vô hướng có tính giao hoán (a·b = b·a) và phân phối với phép cộng (a·(b + c) = a·b + a·c). Một trường hợp đặc biệt quan trọng: a·a = |a|², nghĩa là tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của nó — đây là cầu nối để tính độ dài và chứng minh nhiều hệ thức. Ngoài ra, |a·b| ≤ |a||b| (bất đẳng thức Cauchy–Schwarz) vì |cosθ| ≤ 1; dấu bằng xảy ra khi hai vectơ cùng phương. Nhờ a·b = 0 ⇔ a ⟂ b, tích vô hướng trở thành công cụ gọn nhất để kiểm tra tính vuông góc.
Ứng dụng thực tế
Tích vô hướng xuất hiện khi:
- 💪 Công cơ học: A = F·s = |F||s|cosθ (lực và quãng đường).
- 📐 Kiểm tra vuông góc: a·b = 0 nghĩa là a ⟂ b.
- 🎮 Đồ họa 3D: tính độ sáng bề mặt bằng tích vô hướng pháp tuyến và tia sáng.
- 🧭 Tìm góc giữa hai hướng, hai đường thẳng, hai mặt phẳng trong hình học.