Vectơ là gì?
Một vectơ là một đoạn thẳng có hướng: nó có độ dài (độ lớn) và một hướng. Ta viết vectơ theo tọa độ, chẳng hạn a = (aₓ; a_y). Cộng và trừ vectơ không giống cộng số thường — vì hướng cũng phải được tính đến, nên ta dùng các quy tắc hình học để "ghép" chúng lại.
Các bước cộng, trừ hai vectơ
- Quy tắc tam giác: nối đuôi vectơ b vào ngọn vectơ a. Tổng a + b là mũi tên đi từ gốc a đến ngọn b.
- Quy tắc hình bình hành: đặt a và b chung gốc, dựng hình bình hành. Đường chéo từ gốc chung là a + b.
- Cộng theo tọa độ: a + b = (aₓ + bₓ; a_y + b_y). Trừ theo tọa độ: a − b = (aₓ − bₓ; a_y − b_y).
- Hiệu a − b: chính là a + (−b). Nếu a, b chung gốc thì a − b nối từ ngọn b đến ngọn a.
Vì sao hai quy tắc cho cùng một kết quả?
Quy tắc tam giác và quy tắc hình bình hành thực ra là một. Trong hình bình hành, cạnh đối diện với a bằng chính a (song song, cùng độ dài). Vì thế "tịnh tiến b lên ngọn a" trong quy tắc tam giác cũng dựng nên cạnh còn lại của hình bình hành, và đường chéo — tức a + b — là như nhau. Phép cộng vectơ có tính giao hoán: a + b = b + a, đúng như hình bình hành đối xứng qua đường chéo.
Tính chất cần nhớ
Phép cộng vectơ có tính giao hoán (a + b = b + a) và kết hợp ((a + b) + c = a + (b + c)). Vectơ đối của a, ký hiệu −a, có cùng độ dài nhưng ngược hướng; tổng a + (−a) = 0 (vectơ-không). Nhờ những tính chất này, ta có thể cộng nhiều vectơ liên tiếp bằng cách nối đuôi lần lượt, và kết quả không phụ thuộc thứ tự cộng. Đây chính là lý do quy tắc tam giác mở rộng được thành quy tắc "đa giác" cho tổng của nhiều vectơ.
Ứng dụng thực tế
Tổng và hiệu vectơ có mặt khắp nơi:
- 🚣 Thuyền qua sông: vận tốc thực = vận tốc thuyền + vận tốc dòng nước.
- ✈️ Máy bay gặp gió: hướng bay thực là tổng hai vectơ vận tốc.
- ⚙️ Hợp lực trong vật lí: tổng các lực tác dụng lên một vật.
- 🎮 Đồ họa và game: di chuyển, va chạm đều tính bằng cộng vectơ.