Vi phân của hàm số là gì?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x. Khi biến thay đổi một lượng nhỏ dx (còn viết là Δx), giá trị hàm thay đổi một lượng thực Δy = f(x+Δx) − f(x). Ta gọi dy = f′(x)·dx là vi phân của hàm số tại x. Đó chính là số gia mà tiếp tuyến tại điểm đó dự đoán.
Các bước tính vi phân
- Tính đạo hàm f′(x) của hàm số.
- Thay giá trị x₀ vào để có hệ số góc tiếp tuyến f′(x₀).
- Nhân với dx: dy = f′(x₀)·dx.
- Xấp xỉ: khi dx nhỏ, Δy ≈ dy, nên f(x₀+dx) ≈ f(x₀) + f′(x₀)·dx.
Δy khác dy thế nào?
Δy đo trên đường cong (số gia thật), còn dy đo trên đường tiếp tuyến (đường thẳng). Sai lệch giữa chúng nhỏ hơn nhiều so với dx khi dx → 0. Vì thế người ta dùng dy như một xấp xỉ tuyến tính tiện lợi cho Δy.
Ứng dụng: tính gần đúng
Vi phân giúp tính nhanh giá trị gần đúng và ước lượng sai số:
- √(4.02) ≈ 2 + (1/(2·2))·0.02 = 2.005 nhờ dy của hàm căn.
- 📏 Ước lượng sai số phép đo: sai số diện tích ≈ 2·cạnh·(sai số cạnh).
- ⚙️ Vật lí: liên hệ các đại lượng biến thiên nhỏ (ds, dv, dt).
- 🧮 Là nền tảng của tích phân (∫f(x)dx) và phương trình vi phân.