Công thức xác suất toàn phần là gì?
Đôi khi ta không tính trực tiếp được xác suất của biến cố A, nhưng lại biết A xảy ra dễ hay khó tuỳ theo một biến cố khác B có xảy ra hay không. Khi đó ta chia không gian mẫu thành hai phần rời nhau là B và biến cố đối B̄, rồi cộng đóng góp của từng phần vào A.
Công thức: P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B̄)·P(A|B̄). Trong đó P(A|B) là xác suất của A khi biết B đã xảy ra (xác suất có điều kiện).
Cây xác suất hai nhánh
- Vẽ hai nhánh gốc: một nhánh B (ví dụ chọn Hộp 1) với xác suất P(B), nhánh kia B̄ (chọn Hộp 2) với xác suất P(B̄)=1−P(B).
- Từ mỗi nhánh rẽ tiếp tới A (lấy được bi đỏ) với xác suất có điều kiện P(A|B) hoặc P(A|B̄).
- Nhân dọc theo mỗi đường: được P(B)·P(A|B) và P(B̄)·P(A|B̄).
- Cộng ngang hai đường dẫn tới A → được P(A).
Vì sao lại cộng hai đường?
Vì B và B̄ không giao nhau và phủ kín không gian mẫu, biến cố A được tách thành hai phần rời nhau: A∩B và A∩B̄. Xác suất của mỗi phần chính là tích dọc theo nhánh cây. Do hai phần rời nhau, cộng chúng lại được đúng P(A). Đó cũng là lý do tổng hai nhánh gốc P(B)+P(B̄) luôn bằng 1.
Ứng dụng thực tế
Xác suất toàn phần xuất hiện khi:
- 🎁 Lấy ngẫu nhiên từ nhiều hộp/túi có tỉ lệ khác nhau.
- 🏭 Sản phẩm đến từ nhiều dây chuyền, mỗi dây chuyền tỉ lệ lỗi khác nhau.
- 🩺 Xét nghiệm cho nhóm có bệnh và nhóm không bệnh với độ nhạy khác nhau.
- 🔑 Là bước trung gian để tính công thức Bayes (đảo ngược điều kiện).