Bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác

Kéo ba đỉnh tam giác. Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh với bán kính R = abc/(4S); đường tròn nội tiếp tiếp xúc ba cạnh với r = S/p.

Cạnh a
–
Cạnh b
–
Cạnh c
–
Diện tích S
–
R = abc/(4S)
–
r = S/p
–

💡 Tâm ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh (giao 3 trung trực). Tâm nội tiếp cách đều 3 cạnh (giao 3 phân giác).

Thấy hay? Chia sẻ cho bạn bè: f Facebook 𝕏 X

Hai đường tròn của một tam giác

Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp đi qua cả ba đỉnh, và một đường tròn nội tiếp tiếp xúc cả ba cạnh. Tâm ngoại tiếp O là giao ba đường trung trực (cách đều ba đỉnh); tâm nội tiếp I là giao ba đường phân giác trong (cách đều ba cạnh). Bán kính của chúng liên hệ trực tiếp với diện tích tam giác.

Hai công thức

  1. Bán kính ngoại tiếp: R = abc / (4S), với a, b, c là ba cạnh và S là diện tích.
  2. Bán kính nội tiếp: r = S / p, với p = (a+b+c)/2 là nửa chu vi.
  3. Diện tích có thể tính bằng công thức Heron S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)).

Vì sao đúng?

Với công thức nội tiếp: nối tâm I tới ba đỉnh chia tam giác thành ba tam giác nhỏ, mỗi tam giác có đường cao đúng bằng r (khoảng cách từ I tới mỗi cạnh). Tổng diện tích: S = ½ar + ½br + ½cr = r·p, suy ra r = S/p. Công thức ngoại tiếp suy ra từ định lý sin: a/sin A = 2R, kết hợp S = ½bc·sin A cho ngay R = abc/(4S).

Ứng dụng thực tế

Bán kính nội, ngoại tiếp xuất hiện khi:

Khám phá thêm