Quy tắc khai phương một tích
Trong chương trình Toán lớp 9 — bộ sách Kết nối tri thức, ta học một tính chất nền tảng của căn bậc hai: với hai số a, b không âm thì √(a·b) = √a·√b. Quy tắc này cho phép "tách" một căn to thành hai căn nhỏ (√72 = √36·√2 = 6√2) hoặc "gộp" hai căn nhỏ thành một căn to (√2·√8 = √16 = 4). Nhưng vì sao nó đúng? Trò chơi phía trên cho bạn nhìn thấy câu trả lời bằng diện tích.
Ý tưởng trực quan: bóp hình chữ nhật thành hình vuông
Căn bậc hai của một số S chính là cạnh của hình vuông có diện tích S. Vậy muốn "nhìn thấy" √(a·b), ta chỉ cần biến hình chữ nhật a×b thành hình vuông mà không làm thay đổi diện tích:
- Chọn a và b — hình chữ nhật rộng a, cao b xuất hiện với lưới ô vuông đơn vị, diện tích a·b.
- Kéo thanh Biến hình: chiều rộng và chiều cao thay đổi ngược chiều nhau sao cho tích của chúng luôn đúng bằng a·b — con số diện tích ở giữa không hề nhúc nhích.
- Khi hai cạnh bằng nhau, hình trở thành hình vuông. Cạnh của nó theo định nghĩa là √(a·b).
- So sánh với máy tính: √a × √b cho đúng con số ấy — vì bình phương của √a·√b là a·b.
Vì sao √(a·b) = √a·√b?
Chứng minh chỉ gói gọn trong một dòng. Xét số √a·√b (không âm). Bình phương nó lên:
(√a·√b)² = (√a)²·(√b)² = a·b
Vậy √a·√b là một số không âm có bình phương bằng a·b. Mà theo định nghĩa, số không âm duy nhất có bình phương bằng a·b chính là √(a·b). Hai số phải bằng nhau! Về mặt hình học: hình vuông cạnh √a·√b có diện tích a·b — đúng bằng hình chữ nhật ban đầu, nên cạnh của nó cũng là √(a·b). Lưu ý quan trọng: quy tắc chỉ áp dụng khi a ≥ 0 và b ≥ 0; với số âm, √a không tồn tại nên đẳng thức mất nghĩa.
Câu hỏi thường gặp
Quy tắc khai phương một tích phát biểu thế nào? Với a, b không âm: √(a·b) = √a·√b. Ví dụ √(4·9) = √36 = 6 = 2·3 = √4·√9.
Vì sao √(a·b) = √a·√b? Vì (√a·√b)² = a·b và √a·√b ≥ 0, nên theo định nghĩa căn bậc hai số học, √a·√b chính là √(a·b).
Ứng dụng thực tế
Quy tắc tách căn được dùng liên tục trong tính toán:
- 🧮 Rút gọn căn thức: √50 = √25·√2 = 5√2 — gọn hơn hẳn khi làm bài và bấm máy.
- 📐 Tính đường chéo, cạnh tam giác vuông theo định lý Pythagoras thường ra căn của một tích.
- 🏗️ Kỹ sư quy đổi một mảnh đất chữ nhật thành mảnh vuông cùng diện tích khi so sánh quy hoạch.
- 📊 Độ lệch chuẩn, sai số trong thống kê là căn của tích/thương — tách căn giúp ước lượng nhanh.