Số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?
Một cấp số cộng là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một số không đổi d — gọi là công sai. Ví dụ dãy 2; 3,5; 5; 6,5; 8… là cấp số cộng với u₁ = 2 và d = 1,5. Trong chương trình Toán lớp 11 — bộ sách Kết nối tri thức, công thức quan trọng nhất của bài này là số hạng tổng quát: un = u₁ + (n−1)d. Nó cho phép tính ngay số hạng thứ 100 hay thứ 1000 mà không cần liệt kê từng số.
Ý tưởng của trò chơi
Hãy hình dung cấp số cộng là những cú nhảy đều nhau trên trục số. Điểm xuất phát là u₁. Mỗi cú nhảy dài đúng d: nhảy sang phải nếu d dương, quay đầu sang trái nếu d âm. Trò chơi vẽ toàn bộ các số hạng thành những chấm màu, nối nhau bằng các mũi tên cong “+d” bằng nhau, rồi cho một chấm cam nhảy thật và đếm to từng lần cộng d.
- Kéo thanh u₁ — cả đoàn chấm trượt theo, vì mọi số hạng đều “đứng trên vai” số hạng đầu.
- Kéo thanh d — khoảng cách giữa các chấm giãn ra hay co lại đều nhau; d âm làm cả dãy đi lùi.
- Chọn n rồi bấm ▶ Nhảy tới u_n: chấm cam nhảy từ u₁ và bộ đếm hiện “đã cộng d … lần”.
- So bộ đếm với n: đến u₅ chỉ mất 4 cú nhảy, đến u₁₅ chỉ mất 14 cú — luôn là n − 1.
Vì sao là (n−1)d mà không phải n·d?
Đây là chỗ học sinh hay nhầm nhất. Bí quyết nằm ở chỗ: u₁ là điểm xuất phát, không phải cú nhảy đầu tiên. Từ u₁ sang u₂ là 1 cú nhảy; từ u₁ sang u₃ là 2 cú; cứ thế, từ u₁ sang uₙ là (n−1) cú. Số “cột mốc” luôn nhiều hơn số “quãng đường” đúng 1 đơn vị — giống như hàng rào có 10 cọc thì chỉ có 9 khoảng trống.
un = u₁ + d + d + … + d (gồm n−1 số d) = u₁ + (n−1)d
Khi bạn bấm nút và nhìn bộ đếm dừng ở đúng (n−1), công thức không còn là dòng chữ phải thuộc lòng nữa — nó chỉ là chuyện đếm số cú nhảy.
Câu hỏi thường gặp
Số hạng tổng quát của cấp số cộng được tính bằng công thức nào? Với số hạng đầu u₁ và công sai d, số hạng thứ n là uₙ = u₁ + (n−1)d. Ví dụ u₁ = 2, d = 3 thì u₁₀ = 2 + 9·3 = 29.
Vì sao trong công thức là (n−1)d chứ không phải n·d? Vì ta xuất phát từ u₁ chứ không phải từ 0. Để đi từ u₁ đến uₙ chỉ cần (n−1) bước nhảy: u₁→u₂ là 1 bước, u₁→u₃ là 2 bước… u₁→uₙ là (n−1) bước, mỗi bước cộng thêm d.
Ứng dụng thực tế
Cấp số cộng xuất hiện ở mọi thứ tăng đều theo từng bước:
- 💰 Tiền tiết kiệm bỏ ống đều đặn: tuần đầu có 50k, mỗi tuần thêm 20k → tuần thứ n có 50 + (n−1)·20 nghìn đồng.
- 🏟️ Số ghế mỗi hàng trong khán đài: hàng đầu 20 ghế, mỗi hàng sau thêm 2 ghế → hàng thứ n có 20 + (n−1)·2 ghế.
- 🚕 Giá taxi: giá mở cửa u₁, mỗi km cộng thêm d nghìn đồng — hóa đơn chính là một cấp số cộng theo quãng đường.
- 🪜 Chiều cao bậc thang, cột mốc km trên quốc lộ, lịch tăng tạ mỗi buổi tập… tất cả đều là “nhảy đều +d”.