Công thức hạ bậc là gì?
Công thức hạ bậc biến bình phương của sin hay cos (bậc hai) thành một biểu thức bậc nhất của cosin góc gấp đôi:
sin²a = (1 − cos2a)/2 và cos²a = (1 + cos2a)/2
Nhờ hạ bậc, ta thay sin²a hay cos²a bằng cos2a — rất tiện khi tính tích phân, giải phương trình lượng giác hay rút gọn biểu thức.
Suy ra từ công thức nhân đôi
- Xuất phát từ nhân đôi: cos2a = 1 − 2sin²a.
- Giải theo sin²a: 2sin²a = 1 − cos2a ⇒ sin²a = (1 − cos2a)/2.
- Tương tự, từ cos2a = 2cos²a − 1 ⇒ cos²a = (1 + cos2a)/2.
- Cộng hai công thức: sin²a + cos²a = (1 − cos2a)/2 + (1 + cos2a)/2 = 1. ✓
Vì sao gọi là hạ bậc?
Vế trái là bậc hai theo sin hay cos (có mũ 2). Vế phải chỉ còn cos2a — bậc nhất. Bậc của biểu thức lượng giác đã giảm từ 2 xuống 1, đổi lại góc tăng gấp đôi. Đây là mẹo then chốt để tính tích phân của sin²a, cos²a ở lớp 12.
Câu hỏi thường gặp
Công thức hạ bậc là gì?
Là công thức biến sin²a, cos²a thành biểu thức bậc nhất của cos2a: sin²a = (1 − cos2a)/2, cos²a = (1 + cos2a)/2.
Công thức hạ bậc suy ra từ đâu?
Từ công thức nhân đôi cos2a = 1 − 2sin²a = 2cos²a − 1, giải ngược lại theo sin²a và cos²a.
Ứng dụng thực tế
Công thức hạ bậc rất đắc dụng khi:
- ∫ Tính tích phân của sin²a, cos²a (lớp 12).
- 🔧 Giải phương trình lượng giác có sin²a, cos²a.
- 📉 Tính công suất trung bình dòng điện xoay chiều (giá trị hiệu dụng).
- 🎵 Phân tích tín hiệu, sóng âm chứa thành phần bình phương.