Công thức nghiệm là gì?
Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 với a ≠ 0. Thay vì mò từng nghiệm, ta có một công thức duy nhất tính ngay mọi nghiệm: x = (−b ± √Δ)/2a, trong đó Δ = b² − 4ac gọi là biệt thức. Biểu thức dưới dấu căn Δ chính là chìa khoá cho biết phương trình có bao nhiêu nghiệm.
Vì sao lại đúng? — Hoàn thành bình phương
Công thức không phải "từ trên trời rơi xuống". Nó sinh ra từ kĩ thuật hoàn thành bình phương: biến vế trái thành một hình vuông hoàn hảo. Đây là các bước game minh hoạ:
- Chia cho a: x² + (b/a)x + c/a = 0.
- Thêm ô góc: để x² + (b/a)x thành hình vuông cạnh (x + b/2a), ta cần thêm ô nhỏ (b/2a)².
- Gom bình phương: (x + b/2a)² = (b/2a)² − c/a = (b²−4ac)/(4a²) = Δ/(4a²).
- Khai căn hai vế: x + b/2a = ±√Δ/(2a), suy ra x = (−b ± √Δ)/2a.
Biệt thức Δ và số nghiệm
Vì Δ nằm dưới dấu căn nên dấu của nó quyết định tất cả. Δ > 0: hai nghiệm phân biệt, parabol cắt trục hoành tại hai điểm. Δ = 0: nghiệm kép x = −b/2a, parabol tiếp xúc (chạm) trục hoành. Δ < 0: căn của số âm không có nghiệm thực, parabol nằm hẳn trên hoặc dưới trục hoành. Kéo các thanh trượt để tự thấy ba trường hợp này.
Ứng dụng thực tế
Phương trình bậc hai xuất hiện ở khắp nơi:
- 🏀 Quỹ đạo ném bóng, bắn pháo hoa — chuyển động ném xiên là parabol.
- 📐 Tìm kích thước hình chữ nhật khi biết diện tích và chu vi.
- 💰 Bài toán lãi kép, tối ưu lợi nhuận, điểm hoà vốn.
- 🔭 Thiết kế gương, ăng-ten, đèn pha có mặt cắt parabol.