Tam thức bậc hai là gì?
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng f(x) = ax² + bx + c với a ≠ 0. Đồ thị của nó là một parabol. Khi a > 0 parabol mở lên trên, khi a < 0 parabol mở xuống dưới. “Xét dấu tam thức” là trả lời câu hỏi: với những giá trị x nào thì f(x) dương, âm hay bằng 0.
Các bước xét dấu
- Tính biệt thức Δ = b² − 4ac để biết số nghiệm.
- Nếu Δ < 0: vô nghiệm → f(x) luôn cùng dấu a với mọi x.
- Nếu Δ = 0: nghiệm kép x₀ = −b/(2a) → f(x) cùng dấu a với mọi x ≠ x₀.
- Nếu Δ > 0: hai nghiệm x₁ < x₂ → trong trái, ngoài cùng dấu a.
Vì sao “trong trái ngoài cùng”?
Khi có hai nghiệm, ta viết được f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Với x nằm ngoài đoạn [x₁; x₂], hai thừa số (x − x₁) và (x − x₂) cùng dấu nên tích của chúng dương, khiến f(x) cùng dấu a. Với x nằm giữa hai nghiệm, hai thừa số trái dấu nên tích âm, khiến f(x) trái dấu a. Đó chính là quy tắc trong trái ngoài cùng.
Ứng dụng thực tế
Xét dấu tam thức bậc hai được dùng khi:
- 🧩 Giải bất phương trình bậc hai như ax² + bx + c > 0.
- 📈 Tìm miền xác định của hàm chứa căn bậc hai.
- 🎯 Tìm điều kiện tham số để một biểu thức luôn dương/âm.
- 🚀 Bài toán ném vật, quỹ đạo parabol trong vật lí.