Ba vị trí của hai đường thẳng
Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b là một đường thẳng. Trong đó a là hệ số góc (độ dốc) và b là tung độ gốc (điểm cắt trục tung). Cho hai đường thẳng, ta so sánh cặp (a, b) của chúng để biết chúng cắt nhau, song song hay trùng nhau.
Quy tắc so sánh
- Cắt nhau: hệ số góc khác nhau, a₁ ≠ a₂. Có đúng một điểm chung.
- Song song: hệ số góc bằng nhau nhưng tung độ gốc khác, a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂. Không có điểm chung.
- Trùng nhau: cả hai bằng nhau, a₁ = a₂ và b₁ = b₂. Vô số điểm chung — cùng một đường thẳng.
- Vuông góc (mở rộng): khi tích hai hệ số góc bằng −1, tức a₁·a₂ = −1.
Tìm giao điểm khi hai đường thẳng cắt nhau
Nếu a₁ ≠ a₂, giao điểm có hoành độ x thoả a₁x + b₁ = a₂x + b₂, suy ra x = (b₂ − b₁)/(a₁ − a₂), rồi thay lại để tìm y. Trong game, điểm chung này được đánh dấu ngay trên đồ thị khi hai đường cắt nhau.
Ứng dụng thực tế
Vị trí tương đối của hai đường thẳng xuất hiện khi:
- 🧭 Xét hệ hai phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm.
- 📊 So sánh hai gói cước, hai kế hoạch tiết kiệm cùng tăng đều theo thời gian.
- 🚗 Bài toán hai xe chuyển động đều: cùng vận tốc thì không đuổi kịp (song song).
- 🏗️ Thiết kế kiến trúc, đường ray, làn đường cần song song hoặc giao nhau.