Hàm số bậc nhất là gì?
Trong chương trình Toán lớp 8 — bộ sách Kết nối tri thức, hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b với a ≠ 0. Đồ thị của nó luôn là một đường thẳng. Điều thú vị là chỉ cần hai con số a và b, ta biết chính xác đường thẳng ấy nằm ở đâu và nghiêng thế nào. Trò chơi phía trên cho bạn kéo cả hai hệ số cùng lúc để tự khám phá vai trò của từng con số.
Ý tưởng trực quan: a xoay, b trượt
Hãy làm thí nghiệm nhỏ theo các bước sau và quan sát kỹ đường thẳng màu tím:
- Giữ b yên, kéo a tăng dần: đường thẳng xoay quanh điểm (0; b), càng lúc càng dốc đứng hơn.
- Kéo a về số âm: đường lập tức đổi hướng, đi xuống từ trái sang phải — hàm số nghịch biến.
- Giữ a yên, kéo b: cả đường thẳng trượt lên xuống song song với chính nó, độ dốc không hề đổi.
- Nhìn tam giác nhỏ trên hình: đi sang phải 1 đơn vị thì đường thẳng lên đúng a đơn vị — đó chính là ý nghĩa của hệ số góc.
Vì sao a và b có vai trò như vậy?
Xét hai giá trị x cách nhau 1 đơn vị: y(x+1) − y(x) = a(x+1) + b − (ax + b) = a. Nghĩa là cứ đi sang phải 1 bước, giá trị y thay đổi đúng a. Nếu a > 0 thì y tăng (đồng biến), a < 0 thì y giảm (nghịch biến), và |a| càng lớn thì thay đổi càng mạnh — đường càng dốc.
Còn khi thay x = 0 ta được y = a·0 + b = b, nên đồ thị luôn đi qua điểm (0; b) trên trục tung. So với đường y = ax đi qua gốc tọa độ, mọi điểm của y = ax + b đều được cộng thêm đúng b — cả đường bị tịnh tiến thẳng đứng b đơn vị. Vì thế hai đường thẳng có cùng a luôn song song với nhau.
Câu hỏi thường gặp
Hệ số a quyết định điều gì? a là hệ số góc: a > 0 đường đi lên (đồng biến), a < 0 đường đi xuống (nghịch biến), |a| càng lớn đường càng dốc.
Hệ số b có ý nghĩa gì? b là tung độ gốc — đồ thị luôn cắt trục tung tại (0; b). Đổi b chỉ làm đường trượt song song, không đổi độ dốc.
Nếu a = 0 thì sao? Khi đó y = b là hàm hằng, đồ thị là đường nằm ngang — không còn là hàm số bậc nhất nữa. Hãy kéo a về 0 để nhìn thấy điều này!
Ứng dụng thực tế
Hàm số bậc nhất mô tả mọi thứ thay đổi đều đặn quanh ta:
- 🚕 Giá cước taxi: y = 15x + 12 (nghìn đồng) — b = 12 là giá mở cửa, a = 15 là đơn giá mỗi km.
- 📱 Gói cước điện thoại: tiền phải trả = phí thuê bao (b) + đơn giá phút gọi (a) × số phút.
- 🌡️ Đổi nhiệt độ: F = 1,8C + 32 chính là một hàm bậc nhất với a = 1,8 và b = 32.
- 💧 Bể nước đang có b lít, mỗi phút bơm thêm a lít: lượng nước sau x phút là y = ax + b.