Hằng đẳng thức (a−b)² là gì?
Bình phương của một hiệu được tính bằng hằng đẳng thức (a−b)² = a² − 2ab + b²: bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai. Đây là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ của chương trình lớp 8, và sẽ dễ nhớ hơn rất nhiều nếu bạn nhìn thấy nó bằng hình.
Ý tưởng: bắt đầu từ hình vuông a²
Hãy vẽ một hình vuông cạnh a với diện tích a². Mục tiêu là tìm diện tích của hình vuông cạnh (a−b) nằm ở góc trên–trái. Để được nó, ta cắt bớt phần thừa khỏi hình vuông a².
- Xuất phát từ hình vuông cạnh a → diện tích a².
- Bỏ một dải bên phải rộng b, cao a (diện tích ab) và một dải bên dưới rộng a, cao b (diện tích ab) → trừ 2ab.
- Ô vuông góc b² nằm trong cả hai dải nên bị trừ hai lần, phải cộng bù lại một lần → +b².
- Phần còn lại đúng bằng hình vuông cạnh (a−b): a² − 2ab + b² = (a−b)².
Vì sao có −2ab và +b²?
Số −2ab đến từ hai dải ab bị bỏ đi: một dải dọc bên phải và một dải ngang bên dưới. Nhưng hai dải này chồng lên nhau ở đúng ô vuông góc b². Nếu chỉ trừ 2ab thì ô góc đó bị trừ hai lần, nên ta phải cộng bù +b² đúng một lần để không trừ trùng:
(a−b)² = a² − 2ab + b²
Đây chính là “nguyên lý bù trừ” quen thuộc: lấy toàn bộ (a²), trừ hai phần thừa (2ab), rồi cộng lại phần bị trừ chồng (b²). Hiểu được điều này, bạn sẽ không bao giờ quên dấu của hằng đẳng thức nữa.
Câu hỏi thường gặp
Tính nhanh 98² bằng cách nào? Viết 98 = 100 − 2, khi đó 98² = (100−2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
Khác gì với (a+b)²? Chỉ khác dấu của số hạng giữa: (a+b)² = a² + 2ab + b² còn (a−b)² = a² − 2ab + b². Một bên cộng thêm hai dải, một bên bỏ bớt hai dải.
Ứng dụng thực tế
Hằng đẳng thức (a−b)² hữu ích trong nhiều tình huống:
- 🧮 Tính nhẩm nhanh số gần tròn chục, tròn trăm: 97² = (100−3)² = 10000 − 600 + 9 = 9409.
- ✏️ Rút gọn và phân tích biểu thức đại số, giải phương trình bậc hai.
- 💻 Lập trình & thuật toán: khai triển công thức, tối ưu phép tính bình phương.
- 📈 Xấp xỉ trong khoa học, tài chính khi một đại lượng giảm nhẹ quanh giá trị a.