Tính chất đường chéo hình chữ nhật
Trong Toán lớp 8 — bộ sách Kết nối tri thức, hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Nó là hình bình hành đặc biệt, nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường; nhưng hình chữ nhật còn có thêm tính chất riêng: hai đường chéo bằng nhau. Trò chơi phía trên cho bạn kéo hai kích thước a, b thoải mái để thấy hai con số độ dài AC và BD luôn trùng khớp.
Ý tưởng trực quan: kéo mấy cũng bằng nhau
Hãy làm theo các bước sau và quan sát hai đường chéo màu cam và xanh:
- Kéo chiều dài a: cả hai đường chéo cùng dài ra, nhưng số đo của chúng luôn giống hệt nhau.
- Kéo chiều rộng b: vẫn vậy — AC = BD trong mọi trường hợp.
- Để ý mỗi đường chéo là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a và b, nên AC = BD = √(a² + b²).
- Bấm Hiện đường tròn: vòng tròn tâm O bán kính nửa đường chéo đi qua cả 4 đỉnh, dù bạn kéo hình thế nào.
Vì sao hai đường chéo bằng nhau?
Xét hai tam giác vuông ABD và BAC: chúng có cạnh AB chung, AD = BC (cạnh đối hình bình hành), và hai góc vuông tại A, tại B. Vậy △ABD = △BAC (c.g.c), suy ra BD = AC. Cũng có thể thấy ngay bằng định lý Pythagoras: cả hai đường chéo đều bằng √(a² + b²) nên hiển nhiên bằng nhau.
Từ đó suy ra điều thú vị: giao điểm O của hai đường chéo cách đều cả bốn đỉnh, vì OA = OC = AC/2 và OB = OD = BD/2 mà AC = BD. Nói cách khác, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật. Đây cũng là gốc rễ của định lý quen thuộc: trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền — vì tam giác vuông là nửa hình chữ nhật cắt theo đường chéo.
Câu hỏi thường gặp
Hai đường chéo hình chữ nhật có tính chất gì? Chúng bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, và cùng bằng √(a² + b²).
Vì sao 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn? Vì O cách đều 4 đỉnh: OA = OB = OC = OD = nửa đường chéo, nên đường tròn tâm O bán kính đó đi qua cả 4 đỉnh.
Hình bình hành thường có hai đường chéo bằng nhau không? Không. Ngược lại, hình bình hành nào có hai đường chéo bằng nhau thì chính là hình chữ nhật — đây là một dấu hiệu nhận biết quan trọng.
Ứng dụng thực tế
Tính chất "hai đường chéo bằng nhau" được dùng hằng ngày:
- 🧱 Thợ xây kiểm tra móng nhà có vuông góc không bằng cách đo hai đường chéo — bằng nhau là chuẩn, khỏi cần thước đo góc.
- 🚪 Thợ mộc đóng khung cửa, khung tranh: đo chéo hai lần, lệch nhau là khung bị "méo" thành hình bình hành.
- 📺 Kích thước tivi, màn hình điện thoại được đo bằng đường chéo — chính là √(a² + b²) inch.
- ⚽ Kẻ sân bóng đá, sân cầu lông đúng chuẩn: căng dây hai đường chéo để chỉnh bốn góc thật vuông.