Hai mặt phẳng song song và khoảng cách giữa chúng
Trong Toán lớp 12 — bộ sách Kết nối tri thức, hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D₁=0 và (Q): Ax+By+Cz+D₂=0 có cùng vectơ pháp tuyến n=(A;B;C) nên song song với nhau (khi D₁ ≠ D₂). Khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung — và điều thú vị là đoạn này dài như nhau ở mọi vị trí, giống khoảng cách giữa hai tấm kính của cửa sổ hai lớp.
Ý tưởng trực quan: lấy một điểm, hạ vuông góc
Muốn đo khoảng cách giữa hai bức tường song song, bạn chỉ cần đứng ở một điểm bất kỳ trên bức tường này rồi đo thẳng góc sang bức kia. Toán học cũng vậy: d((P),(Q)) = d(M,(Q)) với M tuỳ ý thuộc (P).
- Kéo thanh D₁, D₂: mỗi mặt phẳng trượt dọc theo vectơ pháp tuyến của nó, hai mặt luôn song song vì cùng n=(2;2;1).
- Chọn điểm M trên (P) bằng thanh trượt thứ ba — M chạy khắp mặt phẳng.
- Đoạn vuông góc đỏ từ M xuống (Q) chính là khoảng cách d(M,(Q)) — áp dụng công thức khoảng cách điểm–mặt phẳng.
- Quan sát: dù M ở đâu, con số d vẫn không đổi — đó chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Vì sao ra công thức |D₁−D₂|/√(A²+B²+C²)?
Lấy M(x₀;y₀;z₀) thuộc (P), tức là Ax₀+By₀+Cz₀+D₁=0, suy ra Ax₀+By₀+Cz₀ = −D₁. Tính khoảng cách từ M đến (Q):
d(M,(Q)) = |Ax₀+By₀+Cz₀+D₂| / √(A²+B²+C²) = |−D₁+D₂| / √(A²+B²+C²)
Vì |−D₁+D₂| = |D₁−D₂| nên:
d((P),(Q)) = |D₁ − D₂| / √(A² + B² + C²)
Toạ độ cụ thể của M biến mất khỏi kết quả — đó là lý do sâu xa khiến mọi điểm trên (P) đều cho cùng một khoảng cách. Lưu ý quan trọng: trước khi áp dụng công thức, phải đưa hai phương trình về cùng bộ hệ số A, B, C (ví dụ nhân cả phương trình với một hằng số thích hợp).
Câu hỏi thường gặp
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tính bằng công thức nào? Với (P): Ax+By+Cz+D₁=0 và (Q): Ax+By+Cz+D₂=0 cùng bộ hệ số, d = |D₁−D₂|/√(A²+B²+C²).
Vì sao chỉ cần lấy một điểm trên mặt phẳng này rồi tính khoảng cách đến mặt phẳng kia? Vì hai mặt phẳng song song cách đều nhau ở mọi nơi: mọi điểm M của (P) đều cho cùng một giá trị d(M,(Q)), nên giá trị chung ấy chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Ứng dụng thực tế
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song xuất hiện ở rất nhiều nơi:
- 🏢 Chiều cao thông thuỷ giữa sàn và trần nhà — hai mặt phẳng song song — quyết định cảm giác rộng rãi của căn phòng.
- 🪟 Cửa sổ kính hai lớp: khe không khí giữa hai tấm kính song song (thường 12–16 mm) là lớp cách nhiệt, cách âm.
- 🔋 Trong tụ điện phẳng, khoảng cách giữa hai bản kim loại song song quyết định điện dung của tụ.
- 🖨️ Máy in 3D in từng lớp vật liệu là các mặt phẳng song song; khoảng cách lớp (layer height) quyết định độ mịn của sản phẩm.