Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxyz)

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là gì?

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) là độ dài đoạn ngắn nhất nối M với một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Đoạn ngắn nhất đó chính là đoạn vuông góc hạ từ M xuống (P), gặp mặt phẳng tại hình chiếu vuông góc H. Với mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0, ta có công thức gọn: d(M,(P)) = |A·x_M+B·y_M+C·z_M+D| / √(A²+B²+C²).

Các bước tính

1. Xác định A, B, C, D từ phương trình mặt phẳng và tọa độ điểm M(x_M,y_M,z_M).
2. Thay M vào vế trái: tính giá trị A·x_M+B·y_M+C·z_M+D.
3. Lấy giá trị tuyệt đối của kết quả (khoảng cách luôn ≥ 0).
4. Chia cho √(A²+B²+C²) — độ dài vectơ pháp tuyến — để ra d.

Vì sao công thức này đúng?

Lấy một điểm N tùy ý trên mặt phẳng thì A·x_N+B·y_N+C·z_N+D=0. Khoảng cách d chính là độ dài hình chiếu của vectơ NM lên vectơ pháp tuyến n=(A,B,C). Hình chiếu đó bằng |n·NM|/|n|. Khai triển n·NM = A(x_M−x_N)+B(y_M−y_N)+C(z_M−z_N) = (A·x_M+B·y_M+C·z_M) − (A·x_N+B·y_N+C·z_N) = A·x_M+B·y_M+C·z_M+D. Chia cho |n|=√(A²+B²+C²) ta được công thức.

Ứng dụng thực tế

Khoảng cách điểm–mặt phẳng dùng để:

• 🏗️ Đo độ lệch, độ phẳng của bề mặt trong xây dựng và cơ khí.
• 🤖 Robot, xe tự lái tránh vật cản: khoảng cách tới mặt tường ảo.
• 🖥️ Đồ họa 3D: kiểm tra va chạm, đổ bóng, cắt khối theo mặt phẳng.
• 📐 Tính chiều cao khối chóp, khối lăng trụ trong hình học không gian.