Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
Đây là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Nó giúp khai triển nhanh lập phương của một hiệu và ngược lại nhận ra một đa thức là lập phương.
Vì sao đúng?
Ta có (a − b)³ = (a − b)(a − b)². Vì (a − b)² = a² − 2ab + b², nên:
- (a − b)³ = (a − b)(a² − 2ab + b²).
- Nhân a: a³ − 2a²b + ab².
- Nhân −b: − a²b + 2ab² − b³.
- Cộng lại: a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Mẹo nhớ
Hệ số là 1, 3, 3, 1 (hàng tam giác Pascal), số mũ của a giảm 3→0 còn số mũ của b tăng 0→3. Dấu đan xen + − + −. So với (a + b)³ (toàn dấu +), chỉ khác ở dấu.
Ứng dụng thực tế
Lập phương của một hiệu dùng để:
- 🧮 Tính nhanh 19³ = (20 − 1)³ = 8000 − 1200 + 60 − 1 = 6859.
- 🧩 Phân tích đa thức a³ − 3a²b + 3ab² − b³ thành (a − b)³.
- 📐 Rút gọn biểu thức và giải phương trình bậc ba đặc biệt.
- 📈 Khai triển trong giải tích và xác suất (nhị thức Newton).