Hai dạng phương trình của mặt cầu
Trong Toán lớp 12 — bộ sách Kết nối tri thức, mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình chính tắc (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = R². Khai triển các bình phương rồi thu gọn, ta được dạng tổng quát x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d = 0 với d = a²+b²+c²−R². Bài toán ngược — nhìn dạng tổng quát mà đọc ra tâm và bán kính — chính là kỹ năng game này luyện cho bạn.
Ý tưởng trực quan: hoàn thành bình phương
"Hoàn thành bình phương" giống như gấp lại một tờ giấy đã mở: x²−2ax thiếu đúng một mảnh a² để thành (x−a)². Ta mượn a² cho mỗi biến rồi trả lại ở vế phải.
- Nhóm từng biến: (x²−2ax) + (y²−2by) + (z²−2cz) + d = 0.
- Thêm bớt: x²−2ax+a² = (x−a)², làm tương tự với y và z — vế trái "gấp" thành ba bình phương.
- Chuyển phần đã mượn sang vế phải: (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = a²+b²+c²−d.
- Đọc kết quả: tâm I(a;b;c) — chú ý hệ số của x là −2a nên phải đổi dấu chia đôi — và bán kính R = √(a²+b²+c²−d).
Vì sao có điều kiện a²+b²+c²−d > 0?
Sau khi hoàn thành bình phương, vế trái là tổng ba bình phương nên luôn ≥ 0. Xét vế phải P = a²+b²+c²−d:
• P > 0: tập nghiệm là mặt cầu thật sự, bán kính R = √P.
• P = 0: chỉ còn đúng một điểm I(a;b;c) thoả mãn — "mặt cầu bán kính 0".
• P < 0: không điểm nào thoả mãn — phương trình vô nghĩa về mặt hình học.
Tóm lại, điều kiện để dạng tổng quát là phương trình mặt cầu:
a² + b² + c² − d > 0, khi đó I(a;b;c), R = √(a²+b²+c²−d)
Trong game, hãy kéo thanh d vượt qua giá trị a²+b²+c²: bạn sẽ thấy quả cầu co về một chấm rồi biến mất, cùng dòng cảnh báo đỏ. Đây chính là câu hỏi lý thuyết quen thuộc trong đề thi: "phương trình sau có phải phương trình mặt cầu không?"
Câu hỏi thường gặp
Từ x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 tìm tâm và bán kính thế nào? Hoàn thành bình phương: (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = a²+b²+c²−d. Tâm I(a;b;c), bán kính R = √(a²+b²+c²−d) khi vế phải dương.
Khi nào phương trình tổng quát không phải mặt cầu? Khi a²+b²+c²−d ≤ 0: bằng 0 thì chỉ còn một điểm, âm thì không có điểm nào thoả mãn.
Ứng dụng thực tế
Phương trình mặt cầu là công cụ mô tả "vùng phủ sóng hình cầu" quanh một tâm:
- 📡 GPS xác định vị trí bằng giao của các mặt cầu: mỗi vệ tinh cho một mặt cầu tâm là vệ tinh, bán kính là khoảng cách đo được.
- 🛰️ Vùng phủ sóng của một trạm phát trong không gian ba chiều là hình cầu; phương trình cho biết điểm nào nằm trong vùng phủ.
- ⚛️ Trong hoá học, các lớp electron quanh hạt nhân thường được mô hình hoá bằng những mặt cầu đồng tâm.
- 🎮 Game 3D dùng "hình cầu bao" (bounding sphere) quanh nhân vật để kiểm tra va chạm nhanh bằng đúng phương trình mặt cầu.