Xét vị trí bằng cách so d với R
Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi d = d(I,(P)) là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng. Chỉ cần so d với R là biết ngay chúng nằm thế nào với nhau — không cần giải hệ.
Ba trường hợp
- d > R: mặt phẳng nằm ngoài, không cắt mặt cầu (không có điểm chung).
- d = R: mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại đúng một điểm (tiếp điểm là hình chiếu H của I).
- d < R: mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn tâm H, bán kính r.
Bán kính đường tròn giao tuyến
Khi d < R, lấy một điểm M trên đường tròn giao tuyến. Tam giác I·H·M vuông tại H có cạnh huyền IM = R, cạnh IH = d, cạnh HM = r. Theo Pythagoras: R² = d² + r², suy ra r = √(R² − d²).
Cách tính d(I,(P)) trong Oxyz
Nếu mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và tâm I(x₀; y₀; z₀), thì khoảng cách được tính bằng công thức d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Sau khi có d, chỉ việc so với bán kính R để kết luận: chưa cần dựng hình cũng biết ngay mặt phẳng cắt, tiếp xúc hay không cắt mặt cầu. Đây là lí do bài toán vị trí tương đối trong không gian trở nên rất gọn — mọi thứ quy về một phép so sánh giữa hai số d và R. Khi cắt nhau, tâm đường tròn giao tuyến chính là chân đường vuông góc H hạ từ I xuống (P), và bán kính r = √(R² − d²) đo đúng nửa dây cung lớn nhất của lát cắt đó.
Ứng dụng thực tế
Ý tưởng so khoảng cách với bán kính xuất hiện khi:
- 🌐 Định vị GPS: giao của các mặt cầu tín hiệu vệ tinh.
- 🩻 Chụp cắt lớp (CT/MRI): mỗi lát cắt là một mặt phẳng cắt khối cầu.
- 🎮 Đồ hoạ 3D: kiểm tra va chạm giữa quả cầu và mặt phẳng.
- ✈️ Radar, vùng phủ sóng: bán kính phủ so với khoảng cách địa hình.