Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì?
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° (đường thẳng nằm trong hoặc song song mặt phẳng) đến 90° (đường thẳng vuông góc mặt phẳng).
Công thức trong Oxyz
Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng, n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vì n vuông góc với mặt phẳng nên góc giữa u và n bù với góc φ cần tìm. Do đó:
sinφ = |u·n| / (|u|·|n|)
Các bước tính
- Xác định u — vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Xác định n — vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (từ hệ số a, b, c của Ax+By+Cz+D=0).
- Tính u·n và các độ dài |u|, |n|.
- Lấy sinφ = |u·n| / (|u|·|n|) rồi suy ra φ = arcsin.
Vì sao dùng sin?
Vì n vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và n cộng với góc φ bằng 90°. Mà sinφ = cos(90° − φ) = |cos(góc giữa u và n)|, nên sinφ = |u·n| / (|u|·|n|). Trị tuyệt đối đảm bảo kết quả luôn không âm dù u và n cùng hay ngược chiều.
Ứng dụng thực tế
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng xuất hiện khi:
- 🛬 Tính góc hạ cánh của máy bay so với mặt đất.
- ☀️ Xác định góc tia nắng chiếu lên mái nhà, tấm pin mặt trời.
- ⛰️ Đo độ dốc đường leo so với mặt phẳng ngang.
- 🏗️ Kiểm tra góc nghiêng cột chống trong xây dựng.