Đỉnh và trục đối xứng của parabol

Đỉnh và trục đối xứng là gì?

Đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol. Nó có một điểm đặc biệt gọi là đỉnh — điểm thấp nhất khi a > 0, hoặc cao nhất khi a < 0. Qua đỉnh có một đường thẳng đứng chia parabol thành hai nửa soi gương nhau: đó là trục đối xứng.

Công thức

1. Hoành độ đỉnh: x_I = −b / (2a).
2. Tung độ đỉnh: y_I = −Δ / (4a) với Δ = b² − 4ac (hoặc thay x_I vào hàm số).
3. Trục đối xứng: đường thẳng x = −b / (2a) (đi qua đỉnh).
4. Điểm đối xứng: hai điểm cùng tung độ đối xứng nhau qua trục, hoành độ cách đều x_I.

Vì sao trục là x = −b/2a?

Đưa hàm về dạng chính tắc: y = a(x + b/2a)² − Δ/4a. Bình phương (x + b/2a)² nhỏ nhất (bằng 0) khi x = −b/2a, nên tại đó y đạt giá trị cực trị: đó chính là đỉnh. Vì bình phương đối xứng quanh điểm 0, đồ thị đối xứng quanh đường x = −b/2a.

Ứng dụng thực tế

Đỉnh và trục đối xứng của parabol xuất hiện khi:

• 🎯 Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm bậc hai.
• 🏀 Quỹ đạo ném bóng, đài phun nước, đạn bay (chuyển động ném xiên).
• 🌉 Thiết kế cầu vòm, ăng-ten parabol, đèn pha ô tô.
• 📈 Bài toán tối ưu: lợi nhuận, diện tích lớn nhất với chu vi cho trước.