Tương giao parabol và đường thẳng là gì?
Cho parabol y = ax² và đường thẳng y = mx + b. Giao điểm là những điểm nằm trên cả hai đồ thị, nên tung độ bằng nhau: ax² = mx + b. Hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình này.
Các bước biện luận
- Lập phương trình hoành độ giao điểm: ax² = mx + b.
- Đưa về bậc hai: ax² − mx − b = 0.
- Tính Δ = (−m)² − 4·a·(−b) = m² + 4ab.
- Đếm giao điểm theo dấu Δ: Δ>0 → 2, Δ=0 → 1, Δ<0 → 0.
Ý nghĩa của mỗi trường hợp
Khi Δ > 0 đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt. Khi Δ = 0 đường thẳng tiếp xúc parabol tại đúng một điểm (nghiệm kép). Khi Δ < 0 đường thẳng và parabol không có điểm chung.
Ứng dụng thực tế
Bài toán tương giao xuất hiện khi:
- 🎯 Tìm điều kiện tiếp tuyến của một đường cong.
- 🚀 Xác định thời điểm vật thể đạt độ cao cho trước.
- 📐 Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số.
- 💹 Tìm điểm cân bằng giữa hai mô hình cung – cầu.