Phương trình bậc hai và Δ

Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình ax²+bx+c=0 với a≠0 gọi là phương trình bậc hai một ẩn. Đồ thị của hàm số y=ax²+bx+c là một đường parabol. Nghiệm của phương trình chính là hoành độ những điểm parabol cắt trục Ox (nơi y=0).

Biệt thức Δ và số nghiệm

1. Tính Δ=b²−4ac (đọc là "đen-ta").
2. Nếu Δ>0: hai nghiệm phân biệt x=(−b±√Δ)/(2a) → parabol cắt Ox tại hai điểm.
3. Nếu Δ=0: nghiệm kép x=−b/(2a) → parabol tiếp xúc (chỉ chạm) trục Ox.
4. Nếu Δ<0: vô nghiệm thực → parabol không cắt trục Ox.

Vì sao đúng?

Công thức nghiệm x=(−b±√Δ)/(2a) chứa căn bậc hai của Δ. Căn chỉ có nghĩa (trên số thực) khi Δ≥0. Khi Δ>0, dấu ± tạo ra hai giá trị khác nhau; khi Δ=0 thì √Δ=0 nên hai giá trị trùng làm một; khi Δ<0 không lấy được căn thực nên không có nghiệm. Về hình học, đỉnh parabol nằm ở x=−b/(2a) và Δ quyết định đỉnh nằm dưới, ngay trên, hay không chạm tới trục Ox.

Ứng dụng thực tế

Phương trình bậc hai xuất hiện khi:

• 🏀 Quỹ đạo ném vật, bắn bóng theo đường parabol.
• 📐 Bài toán diện tích, chu vi dẫn tới phương trình bậc hai.
• 💰 Tối ưu lợi nhuận, tìm giá bán làm doanh thu lớn nhất.
• 📡 Thiết kế ăng-ten, gương parabol hội tụ tín hiệu.