Dạng lượng giác là gì?
Một số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm (a; b) trên mặt phẳng phức. Thay vì mô tả bằng toạ độ, ta có thể mô tả bằng độ dài và hướng của mũi tên nối gốc O tới điểm đó. Độ dài là môđun r = √(a² + b²); hướng là argument φ. Khi đó a = r·cosφ, b = r·sinφ, nên z viết được dưới dạng lượng giác:
z = r(cosφ + i·sinφ)
Nhân hai số phức
Cho z₁ = r₁(cosφ₁ + i·sinφ₁) và z₂ = r₂(cosφ₂ + i·sinφ₂). Nhân ra và dùng công thức cộng cung, ta được:
z₁·z₂ = r₁·r₂·[cos(φ₁ + φ₂) + i·sin(φ₁ + φ₂)]
Nói cách khác: môđun nhân nhau, argument cộng nhau. Đây là ý tưởng đẹp nhất của dạng lượng giác — phép nhân biến thành phép co giãn kèm quay.
Các bước nhìn ra tích
- Đo môđun r₁, r₂ và argument φ₁, φ₂ của hai số phức.
- Nhân độ dài: r = r₁·r₂ (tích dài hơn nếu cả hai lớn hơn 1).
- Cộng góc: φ = φ₁ + φ₂ (tích quay thêm góc φ₂ so với z₁).
- Vẽ mũi tên dài r, nghiêng góc φ — đó chính là z₁·z₂.
Vì sao dạng này hữu ích?
Dạng lượng giác biến số phức thành công cụ mạnh:
- 🔁 Nhân i tương ứng quay 90°; số phức là phép quay có sẵn.
- ⚡ Công thức Moivre: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i·sin nφ) tính luỹ thừa và căn dễ dàng.
- 📡 Kỹ thuật điện, xử lý tín hiệu, dao động đều dùng số phức quay.
- 🎨 Đồ hoạ máy tính: quay và co giãn hình phẳng bằng một phép nhân phức.