Bài toán thang tựa tường
Đây là bài toán ứng dụng kinh điển của định lý Pythagoras trong Toán lớp 8 — bộ sách Kết nối tri thức: một chiếc thang dài L mét tựa vào bức tường thẳng đứng, chân thang cách chân tường d mét. Hỏi đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu? Cái hay là ta đo được độ cao mà không cần trèo lên — chỉ đo hai đoạn nằm trong tầm tay rồi tính.
Ý tưởng trực quan: tam giác vuông tự nhiên
Bức tường vuông góc với mặt đất, nên thang – tường – mặt đất tạo thành một tam giác vuông hoàn hảo:
- Chiếc thang là cạnh huyền dài L — dài nhất, đối diện góc vuông.
- Khoảng cách chân thang d và độ cao h là hai cạnh góc vuông.
- Kéo d ra xa: đầu thang tụt xuống — h giảm nhưng h² + d² vẫn đúng bằng L².
- Kéo L dài thêm: với cùng d, đầu thang vươn cao hơn hẳn — thử là thấy ngay.
Vì sao h = √(L² − d²)?
Định lý Pythagoras nói rằng trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông: L² = h² + d². Chuyển vế: h² = L² − d², rồi lấy căn bậc hai (h là độ dài nên dương): h = √(L² − d²).
Ví dụ cụ thể: thang dài 5 m, chân cách tường 3 m thì h = √(25 − 9) = √16 = 4 m — đúng bộ ba số đẹp 3-4-5 nổi tiếng. Công thức cũng giải thích hiện tượng thú vị: khi d tăng dần đều, h lúc đầu giảm chậm rồi giảm rất nhanh — vì bình phương "phóng đại" phần thay đổi khi d gần bằng L.
Câu hỏi thường gặp
Thang dài L, chân cách tường d thì chạm tường cao bao nhiêu? h = √(L² − d²), vì thang – tường – đất tạo thành tam giác vuông có cạnh huyền L.
Vì sao kéo chân thang ra xa thì đầu thang tụt xuống? Vì h² + d² luôn bằng L² cố định: d² lớn lên thì h² buộc phải nhỏ đi.
Đặt thang thế nào là an toàn? Quy tắc 1:4 — chân thang cách tường ¼ chiều dài thang, tương ứng góc nghiêng khoảng 75°. Dốc hơn dễ đổ ngửa, thoải hơn dễ trượt chân thang.
Ứng dụng thực tế
Kiểu "đo gián tiếp" này dùng được ở rất nhiều tình huống:
- 🚒 Lính cứu hỏa tính trước xe thang đỗ cách tòa nhà bao xa để thang vươn tới tầng cần cứu hộ.
- 📡 Tính chiều dài dây văng, dây chằng cột ăng-ten: biết độ cao điểm neo và khoảng cách chân cột là ra ngay.
- 🏗️ Thợ xây dựng độ dốc cầu thang, mái nhà: ba số dài – cao – nghiêng luôn ràng buộc bởi Pythagoras.
- 🗺️ Tính khoảng cách đường chim bay khi biết hai độ dời vuông góc nhau (đi 3 km về đông rồi 4 km về bắc → cách điểm xuất phát 5 km).