Vì sao chia nhỏ được?
Thể tích là một đại lượng có tính cộng: nếu chia một khối đa diện thành nhiều khối nhỏ hơn không đè lên nhau (chỉ chung nhau mặt, cạnh hoặc đỉnh), thì thể tích khối lớn bằng tổng thể tích các khối nhỏ. Nhờ đó, một khối trông rắc rối có thể được tính dễ dàng nếu ta khéo cắt nó thành các khối chóp và khối lăng trụ quen thuộc.
Hai công thức nền tảng
Cần nhớ hai công thức: khối lăng trụ có V = S·h (diện tích đáy nhân chiều cao) và khối chóp có V = (1/3)·S·h (một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao). Mọi khối đa diện đều có thể được chia thành hữu hạn khối chóp, nên chỉ với hai công thức này ta tính được thể tích của rất nhiều khối phức tạp.
Các bước chia nhỏ
- Nhìn ra các khối con: tìm mặt phẳng cắt khối thành lăng trụ, chóp.
- Xác định đáy và chiều cao của từng khối con.
- Tính thể tích mỗi khối con bằng công thức tương ứng.
- Cộng (hoặc trừ) để ra thể tích khối cần tìm.
Khối chóp cụt = hiệu hai chóp
Khi cắt một khối chóp lớn bằng mặt phẳng song song đáy, phần bị bỏ đi là một chóp nhỏ đồng dạng, phần còn lại là khối chóp cụt. Do đó Vcụt = Vchóp lớn − Vchóp nhỏ. Rút gọn ta được công thức gọn: V = (h/3)·(S₁ + S₂ + √(S₁·S₂)), với S₁, S₂ là diện tích hai đáy và h là chiều cao chóp cụt. Đây là ví dụ tiêu biểu của việc trừ thể tích.
Ứng dụng thực tế
Chia nhỏ khối để tính thể tích xuất hiện khi:
- 🏛️ Tính khối lượng bê tông cho móng, cột, mái nhà dạng đa diện.
- ⛰️ Ước lượng khối lượng đất đá đào đắp trong xây dựng, khai thác.
- 📦 Tính dung tích thùng, phễu, hộp có hình chóp cụt.
- 🎮 Đồ họa 3D chia mọi vật thể thành các khối tứ diện đơn giản.