Khối tròn xoay quanh Oy là gì?
Cho một miền phẳng giới hạn bởi đường cong và các trục. Khi ta quay miền đó một vòng quanh trục Oy, mỗi điểm vạch ra một đường tròn, và cả miền quét thành một khối tròn xoay đối xứng qua trục Oy. Bài toán đặt ra là tính thể tích của khối đó bằng tích phân.
Hai cách tính thể tích
- Phương pháp đĩa (vuông góc trục quay): cắt ngang theo y. Mỗi lát là đĩa bán kính x, diện tích π·x², dày dy → V = π∫x² dy.
- Phương pháp vỏ trụ (song song trục quay): mỗi dải đứng tại x, rộng dx, cao f(x) cuộn thành vỏ chu vi 2πx → V = 2π∫x·f(x) dx.
- Cùng một khối, hai tích phân: hai phương pháp cho cùng kết quả; chọn cái nào dễ tính hơn cho hàm đang xét.
- Cho số lát tiến tới ∞: tổng các lát mỏng chính là tích phân — đó là thể tích chính xác.
Vì sao tổng các lát cho thể tích?
Ta chia khối thành nhiều lát mỏng — mỗi đĩa hoặc mỗi vỏ trụ đều là hình quen thuộc có thể tích tính được. Cộng thể tích tất cả các lát ta được một xấp xỉ. Khi bề dày mỗi lát tiến tới 0 (số lát tiến tới vô cùng), sai số biến mất và tổng đó hội tụ về tích phân — chính là thể tích thật của khối tròn xoay. Đây đúng là ý tưởng của tổng Riemann áp dụng cho thể tích.
Ứng dụng thực tế
Thể tích tròn xoay dùng để:
- 🏺 Tính dung tích bình, lọ, chén, các vật thể đối xứng trục.
- ⚙️ Thiết kế chi tiết máy tiện (trục, bánh, ống).
- 🏛️ Tính vật liệu cho cột, mái vòm, bể chứa hình tròn xoay.
- 🔬 Ước lượng thể tích khối phức tạp trong vật lí, kĩ thuật.