Công thức diện tích giữa hai đồ thị
Cho hai hàm liên tục y = f(x) và y = g(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị này cùng hai đường thẳng x = a và x = b là S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx. Trên mỗi đoạn nhỏ, chiều cao của miền chính là khoảng cách thẳng đứng giữa hai đường: đường trên trừ đường dưới.
Các bước tính
- Tìm giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải f(x) = g(x); đó thường là cận a, b tự nhiên.
- Xét dấu f − g trên từng khoảng giữa các giao điểm để biết đường nào nằm trên.
- Tách tích phân tại mỗi giao điểm, mỗi đoạn lấy (đường trên − đường dưới).
- Cộng lại các diện tích dương từng phần để được tổng diện tích.
Vì sao phải dùng trị tuyệt đối?
Diện tích luôn là số dương. Khi hai đồ thị cắt nhau, hiệu f − g đổi dấu: nơi f nằm trên thì f − g dương, nơi g nằm trên thì f − g âm. Nếu bỏ trị tuyệt đối, phần âm sẽ trừ bớt phần dương và kết quả bé hơn diện tích thật (thậm chí bằng 0 khi hai phần đối xứng). Vì thế phải lấy |f − g|, tương đương với việc tách tích phân tại các giao điểm rồi đổi dấu đoạn nào âm.
Ứng dụng thực tế
Diện tích giữa hai đường cong xuất hiện khi:
- 📊 Tính diện tích giữa đường cầu và đường cung trong kinh tế (thặng dư).
- 🚗 Hiệu quãng đường từ hiệu hai đồ thị vận tốc theo thời gian.
- 🏗️ Tính diện tích mặt cắt của chi tiết cơ khí giới hạn bởi hai biên.
- 📐 Bài toán trắc nghiệm tô miền, tìm cận và tách tích phân trong đề thi.