Tiếp tuyến của đường tròn là gì?
Tiếp tuyến của một đường tròn là đường thẳng chỉ có đúng một điểm chung với đường tròn. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Khác với cát tuyến (cắt đường tròn tại hai điểm), tiếp tuyến chỉ "chạm" đường tròn tại một điểm duy nhất rồi đi ra. Trò chơi phía trên cho bạn thấy tiếp tuyến ứng xử thế nào với mọi vị trí của tiếp điểm.
Tính chất then chốt: vuông góc với bán kính
Định lý cơ bản nhất về tiếp tuyến: tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Khi bạn kéo tiếp điểm T, ô vuông góc nhỏ tại T không bao giờ biến mất — góc giữa OT và tiếp tuyến luôn đúng 90°.
- Tiếp tuyến chạm đường tròn tại đúng một điểm — tiếp điểm T.
- Bán kính OT nối tâm O với tiếp điểm T.
- Góc giữa tiếp tuyến và OT luôn bằng 90°, dù T ở đâu.
- Ngược lại: một đường thẳng đi qua điểm trên đường tròn và vuông góc bán kính tại đó chính là tiếp tuyến.
Vì sao tiếp tuyến vuông góc bán kính?
Xét khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng. Chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng là điểm gần O nhất trên đường thẳng đó. Nếu đường thẳng là tiếp tuyến, khoảng cách từ O tới nó đúng bằng bán kính R, và điểm gần nhất chính là tiếp điểm. Vì đoạn OT là đoạn vuông góc (ngắn nhất) từ O tới đường thẳng, nên OT ⟂ tiếp tuyến. Nếu góc không vuông, sẽ có điểm khác trên đường thẳng gần O hơn, khoảng cách nhỏ hơn R, khiến đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm — mâu thuẫn với việc nó là tiếp tuyến.
Hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài bằng nhau
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn, ta kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới hai tiếp điểm A và B. Khi đó MA = MB: hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau. Lý do: hai tam giác vuông OAM và OBM có cạnh huyền OM chung, hai cạnh góc vuông OA = OB = R, nên chúng bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra MA = MB. Hơn nữa, tia MO là phân giác của góc AMB, và cũng là phân giác của góc AOB tại tâm.
Câu hỏi thường gặp
Tiếp tuyến có tính chất gì? Nó chỉ chạm đường tròn tại một điểm (tiếp điểm) và luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài thế nào? Chúng bằng nhau (MA = MB), và tia nối điểm đó với tâm là phân giác của góc giữa hai tiếp tuyến.
Ứng dụng thực tế
Tính chất tiếp tuyến xuất hiện khắp nơi:
- ⚙️ Dây curoa, bánh răng, ròng rọc — đoạn dây tiếp xúc bánh xe luôn vuông góc bán kính.
- 🛣️ Đường ray, đường cao tốc nối đoạn thẳng với đoạn cong êm ái qua tiếp tuyến.
- 📐 Dựng hình, chứng minh và bài toán vẽ tiếp tuyến từ một điểm ngoài.
- 🛰️ Tia sáng, đường ngắm "tiếp tuyến" tới đường chân trời của một hành tinh.